15 Contoh Soal Persamaan Kuadrat dan Jawabannya

Ilustrasi Contoh Soal Persamaan Kuadrat. Unsplash/Dan Christian P.

Persamaan kuadrat merupakan salah satu konsep dasar matematika yang memiliki banyak penerapan dalam berbagai bidang. Memahami contoh soal persamaan kuadrat sangat penting untuk memecahkan berbagai permasalahan yang melibatkan konsep ini.

Dikutip dari buku Cerdas Belajar Matematika, Marthen kanginan, (2007), persamaan kuadrat adalah persamaan dengan pangkat tertinggi variabelnya adalah dua. Persamaan ini telah terpecahkan oleh matematikawan Babilonia lebih dari 2000 tahun yang lalu.

Persamaan kuadrat ini seringkali muncul dalam soal cerita yang berkaitan dengan permasalahan sehari-hari. Menerjemahkan soal cerita ke dalam bentuk persamaan kuadrat dan menyelesaikannya merupakan keterampilan penting yang perlu dikuasai.

Pengertian Persamaan Kuadrat

Ilustrasi Contoh Soal Persamaan Kuadrat. Unsplash

Persamaan kuadrat adalah salah satu topik fundamental dalam matematika yang sering diajarkan di sekolah menengah. Secara umum, persamaan kuadrat merupakan persamaan polinomial yang memiliki pangkat tertinggi dua.

Bentuk umum dari persamaan kuadrat dapat dinyatakan sebagai ax² + bx + c = 0, di mana a, b, dan c adalah koefisien yang merupakan bilangan real, dengan syarat a ≠ 0. Jika a = 0, maka persamaan tersebut tidak lagi menjadi kuadrat, melainkan menjadi persamaan linear.

Dalam konteks ini, x adalah variabel yang nilainya ingin dicari untuk memenuhi persamaan tersebut. Salah satu aspek penting dari persamaan kuadrat adalah cara untuk menemukan akar-akar atau solusi dari persamaan tersebut.

Tidak hanya persamaan kuadrat, anak-anak juga akan mempelajari fungsi kuadrat. Fungsi kuadrat berhubungan erat dengan persamaan kuadrat karena memiliki pangkat dua.

Secara keseluruhan, pemahaman tentang persamaan kuadrat sangat penting bagi siswa karena merupakan dasar bagi banyak konsep matematika yang lebih kompleks di tingkat lanjut.

Dengan mempelajari cara menyelesaikan dan menerapkan persamaan kuadrat, siswa dapat mengembangkan keterampilan berpikir kritis dan analitis yang akan berguna dalam berbagai bidang studi dan kehidupan sehari-hari.

Contoh Soal Persamaan Kuadrat

Ilustrasi Contoh Soal Persamaan Kuadrat. Unsplash/Jeswin Thomas.

Untuk menguji pemahaman secara menyeluruh, penting untuk berlatih dengan berbagai tingkat kesulitan soal. Inilah berbagai contoh soal persamaan kuadrat dan jawabannya.

1. Akar-akar persamaan kuadrat x² - 7x + 12 = 0 adalah...

a. 2 dan 6

b. 3 dan 4

c. -3 dan -4

d. -2 dan -6

Jawaban: b. 3 dan 4

Pembahasan: (x - 3)(x - 4) = 0, maka x = 3 atau x = 4

2. Salah satu akar persamaan kuadrat x² + 5x + p = 0 adalah -2. Nilai p adalah...

a. -6

b. -4

c. 4

d. 6

Jawaban: d. 6

Pembahasan: Substitusikan x = -2 ke persamaan: (-2)² + 5(-2) + p = 0, maka 4 - 10 + p = 0, sehingga p = 6

3. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya -3 dan 5 adalah...

a. x² + 2x - 15 = 0

b. x² - 2x + 15 = 0

c. x² + 8x + 15 = 0

d. x² - 8x - 15 = 0

Jawaban: a. x² + 2x - 15 = 0

Pembahasan: (x + 3)(x - 5) = x² - 5x + 3x - 15 = x² - 2x - 15 = 0 (perhatikan kesalahan ketik pada soal, seharusnya x² - 2x -15 = 0)

4. Jika persamaan kuadrat 2x² + bx - 6 = 0 mempunyai akar x = 2, maka nilai b adalah...

a. -1

b. 1

c. -5

d. 5

Jawaban: a. -1

Pembahasan: Substitusikan x = 2 ke persamaan: 2(2)² + b(2) - 6 = 0, maka 8 + 2b - 6 = 0, sehingga 2b = -2 dan b = -1

5. Nilai diskriminan dari persamaan kuadrat x² - 6x + 9 = 0 adalah...

a. -72

b. 0

c. 36

d. 72

Jawaban: b. 0

Pembahasan: D = b² - 4ac = (-6)² - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0

6. Persamaan kuadrat yang mempunyai akar kembar adalah...

a. x² + 4x + 3 = 0

b. x² - 4x + 4 = 0

c. x² + 4x - 4 = 0

d. x² - 4x - 3 = 0

Jawaban: b. x² - 4x + 4 = 0

Pembahasan: Persamaan ini dapat difaktorkan menjadi (x - 2)² = 0, sehingga akarnya x = 2 (kembar) atau dapat juga dilihat dari diskriminannya D = (-4)² - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0

7. Jika α dan β adalah akar-akar persamaan kuadrat x² - 3x + 2 = 0, maka nilai α + β adalah...

a. -3

b. 2

c. 3

d. -2

Jawaban: c. 3

Pembahasan: Dalam persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, jumlah akar-akarnya (α + β) adalah -b/a. Dalam hal ini, -(-3)/1 = 3

8. Jika α dan β adalah akar-akar persamaan kuadrat 2x² + 5x - 3 = 0, maka nilai αβ adalah...

a. -3/2

b. 3/2

c. -5/2

d. 5/2

Jawaban: a. -3/2

Pembahasan: Dalam persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, hasil kali akar-akarnya (αβ) adalah c/a. Dalam hal ini, -3/2

9. Persamaan kuadrat yang tidak memiliki akar real adalah...

a. x² - 4x + 4 = 0

b. x² - 4x + 3 = 0

c. x² - 4x + 5 = 0

d. x² - 4x = 0

Jawaban: c. x² - 4x + 5 = 0

Pembahasan: Diskriminan (D) = b² - 4ac. Untuk opsi c, D = (-4)² - 4(1)(5) = 16 - 20 = -4. Karena D < 0, maka persamaan tidak memiliki akar real.

10. Himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat x² + 2x - 8 = 0 adalah...

a. {-4, 2}

b. {4, -2}

c. {-4, -2}

d. {4, 2}

Jawaban: a. {-4, 2}

Pembahasan: (x + 4)(x - 2) = 0, maka x = -4 atau x = 2

11. Persamaan kuadrat x² - 4x + k = 0 mempunyai akar real kembar. Nilai k adalah...

a. 2

b. 4

c. -2

d. -4

Jawaban: b. 4

Pembahasan: Akar kembar terjadi jika diskriminan (D) = 0. D = b² - 4ac = (-4)² - 4(1)(k) = 16 - 4k = 0, maka 4k = 16 dan k = 4.

12. Jika salah satu akar persamaan x² + px - 12 = 0 adalah 4, maka akar yang lain adalah...

a. -3

b. 3

c. -4

d. 4

Jawaban: a. -3

Pembahasan: Misalkan akar yang lain adalah x₁. Diketahui x₂ = 4. Hasil kali akar-akar adalah c/a = -12/1 = -12. Jadi, x₁ * x₂ = -12, maka x₁ * 4 = -12, sehingga x₁ = -3.

13. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua kali akar-akar persamaan x² - 3x + 1 = 0 adalah...

a. x² - 6x + 4 = 0

b. x² - 6x + 2 = 0

c. x² - 3x + 4 = 0

d. x² - 3x + 2 = 0

Jawaban: a. x² - 6x + 4 = 0

Pembahasan: Misalkan akar-akar persamaan awal adalah α dan β. Maka α + β = 3 dan αβ = 1. Akar-akar persamaan baru adalah 2α dan 2β. Jumlah akar baru: 2α + 2β = 2(α + β) = 2(3) = 6. Hasil kali akar baru: (2α)(2β) = 4αβ = 4(1) = 4. Jadi, persamaan barunya adalah x² - 6x + 4 = 0.

14. Jumlah kuadrat akar-akar persamaan x² - 5x + 6 = 0 adalah...

a. 13

b. 17

c. 25

d. 36

Jawaban: a. 13

Pembahasan: Akar-akarnya adalah 2 dan 3. Jumlah kuadratnya adalah 2² + 3² = 4 + 9 = 13.

15. Jika persamaan kuadrat px² - 4x + 2 = 0 mempunyai akar-akar real, maka batasan nilai p adalah...

a. p ≤ 2

b. p ≥ 2

c. p ≤ -2

d. p ≥ -2

Jawaban: a. p ≤ 2

Pembahasan: Agar mempunyai akar real, diskriminan harus ≥ 0. D = (-4)² - 4(p)(2) = 16 - 8p ≥ 0, maka 16 ≥ 8p, sehingga p ≤ 2.

Itulah berbagai contoh soal persamaan kuadrat dan jawaban beserta pembahasannya. (LA)

Baca Juga: 20 Contoh Soal Persamaan Linear beserta Jawabannya