8 Soal Olimpiade Matematika SMP dan Pembahasannya 2025 sebagai Referensi

Ilustrasi untuk soal Olimpiade Matematika SMP. Foto: Pexels/MART PRODUCTION

Soal Olimpiade Matematika SMP dan pembahasannya 2025 dirancang untuk membantu siswa memahami konsep dan strategi penyelesaian soal kompleks. Topik ini cocok menjadi referensi latihan soal untuk persiapan lomba bergengsi tersebut.

Menurut laman math.fkip.uns.ac.id, Olimpiade Matematika adalah kompetisi akademik yang menguji kemampuan analitis dan pemecahan masalah siswa. Ajang bergengsi ini kerap diadakan di berbagai tingkat, mulai dari sekolah hingga internasional.

Di antara tujuannya yaitu untuk melatih ketelitian, kreativitas, serta keterampilan berpikir kritis dalam menyelesaikan soal dengan berbagai tingkat kesulitan. Karena itu, peserta perlu berlatih soal secara rutin agar terbiasa dengan pola yang sering muncul.

Daftar isi

Soal Olimpiade Matematika SMP dan Pembahasannya 2025

Ilustrasi untuk soal Olimpiade Matematika SMP. Foto: Pexels/Monstera Production

Mengutip berbagai sumber, termasuk “Pembahasan Soal OSN Bidang Matematika SMP Tingkat Provinsi” yang ditulis Najamuddin (SMP Negeri 20 Makassar) dkk, berikut adalah beberapa soal Olimpiade Matematika SMP dan pembahasannya 2025:

Soal 1

Diketahui angka satuan dari pᵡ adalah 9 dan angka satuan dari qʸ adalah 8. Jika p bilangan ganjil dan q bilangan genap, serta x dan y bilangan bulat, maka banyaknya angka satuan yang mungkin dari x + y adalah...?

Pembahasan

Pasangan bilangan ganjil p dan bilangan bulat x sedemikian sehingga angka satuan dari pᵡ adalah 9, yaitu:
o (3, 4k − 2)
o (7, 4k − 2)
o (9, 2k − 1)
Pasangan bilangan genap q dan bilangan bulat y sedemikian sehingga angka satuan dari qʸ adalah 8, yaitu:
o (2, 4k − 1)
o (8, 4k − 3)
Dari bentuk umum tersebut diperoleh:
x ∈ {1, 2, 3, 4, ...}
y ∈ {1, 3, 5, 7, ...}
Sehingga angka satuan yang mungkin dari x + y adalah {0,1,2,...,9}
Jadi, banyaknya angka satuan yang mungkin dari x + y adalah 10.

Soal 2

Misalkan x, y, dan z adalah bilangan real positif yang memenuhi sistem persamaan berikut:

x + y + z = 6
x² + y² + z² = 20
x³ + y³ + z³ = 72

Maka, nilai dari x⁴ + y⁴ + z⁴ adalah…?

Pembahasan:

Gunakan identitas:
(x + y + z) (x³ + y³ + z³) = (x⁴ + y⁴ + z⁴) + (x³y + xy³ + y³z + yz³ + z³x + xz³)
Substitusi nilai yang diberikan:
6 x 72 = A + P
432 = A + P (Persamaan 1)
Gunakan identitas lain:
(x + y + z) (x² + y² + z²) = (x² + y² + z²) + (x²y + xy² + y²z + yz² + z²x + xz²)
Substitusi nilai yang diberikan:
6 x 20 = 72 + Q
120 = 72 + Q
Q = 48
Gunakan rumus:
(x + y + z)² = (x² + y² + z²) + 2(xy + yz + zx)
6² = 20 + 2(xy + yz + zx)
36 = 20 + 2(xy + yz + zx)
xy + yz + zx = 8
Gunakan identitas lain:
(xy + yz + zx) (x + y + z) = Q + 3xyz
8 x 6 = 48 + 3xyz
xyz = 0 (kontradiksi)
Gunakan:
(xy + yz + zx)( x² + y² + z²) = P + xyz(x + y + z)
8 x 20 = P + 6xyz
160 = P + 6xyz
Karena xyz = 0, maka:
P = 160
Substitusi ke persamaan 1:
A = x⁴ + y⁴ + z⁴ = 432 – P
A = 432 – 160
A = 272
Jadi, nilai dari x⁴ + y⁴ + z⁴ adalah 272.

Soal 3

Didefinisikan f (n) sebagai jumlah semua digit pada bilangan bulat n. Banyaknya bilangan bulat n dengan 100 ≤ n ≤ 999 dan 9 ≤ f (n) ≤ 12 adalah…?

Pembahasan:

Bilangan n terdiri dari tiga digit. Mari membaginya menjadi tiga kategori:

Semua digit pada n berbeda
Bilangan yang memenuhi syarat 9 ≤ f (n) ≤ 12 berasal dari kombinasi angka berikut:
126, 127, 128, 129, 135, 136, 137, 138, 145, 146, 147, 156, 234, 235, 236, 237, 245, 246, 345
Ditambah bilangan yang mengandung angka nol:
180, 190, 270, 280, 290, 360, 370, 380, 390, 450, 460, 470, 480, 560, 570
Total bilangan yang memenuhi:
19 x 3! + 15 x 4 = 114 + 60 = 174
Terdapat 2 digit yang sama
Bilangan yang memenuhi syarat:
117, 118, 119, 225, 226, 227, 228, 334, 335, 336, 441, 442, 443, 550, 551, 552, 660, 900
Total kombinasi:
18 x 3 = 54
Namun, bilangan yang tidak valid (karena bukan tiga digit):
055, 066, 009, 090
Sehingga jumlahnya:
54 – 4 = 50
Semua digitnya sama
Bilangan yang memenuhi syarat:
333, 444
Total: 2 bilangan

Kesimpulan:

174 + 50 + 2 = 226

Jadi, banyaknya bilangan bulat n yang memenuhi adalah 226.

Soal 4

Empat puluh dua bilangan berbeda disusun dalam kotak papan dengan 7 baris dan 6 kolom.

Banyaknya cara untuk memilih tiga bilangan yang berasal dari baris dan kolom berbeda adalah...?

Pembahasan:

Bilangan pertama dapat dipilih dari 42 kotak yang tersedia:
6 x 7 = 42
Bilangan kedua harus dipilih dari baris dan kolom yang berbeda, tersisa 30 pilihan:
5 × 6 = 30
Bilangan ketiga harus dipilih dari baris dan kolom yang berbeda dengan dua sebelumnya, tersisa 20 pilihan:
4 × 5 = 20
Karena urutan pemilihan tidak diperhitungkan, kita membagi dengan 3! (6):
(42 x 30 x 20) / 3! = (42 x 30 x 20) / 6 = 4200

Kesimpulan:

Jadi, banyaknya cara untuk memilih tiga bilangan yang berasal dari baris dan kolom berbeda adalah 4.200.

Soal 5

Bilangan bulat terbesar n dengan 200 < n <257 dan 12n merupakan bilangan kuadrat adalah...?

Pembahasan:

Agar 12n merupakan bilangan kuadrat, maka n harus berbentuk:
n = 3t²
dengan t adalah bilangan bulat.
Diketahui:
200 < n <257
Maka, dapat ditulis:
201 ≤ 3t² ≤255
3 x 67 ≤ 3t² ≤ 3 x 85
67 ≤ t² ≤ 85
Bilangan kuadrat terbesar dalam rentang tersebut adalah 81 (karena 9² = 81)
Sehingga, nilai terbesar untuk n adalah:
n = 3 x 81 = 243

Kesimpulan:

Bilangan bulat terbesar n yang memenuhi syarat adalah 243.

Soal 6

Diketahui segitiga ABC, di mana:

D adalah titik tengah BC
E adalah titik tengah CA
F adalah titik tengah AB

Garis bagi sudut FDE dan FBD berpotongan di titik P.

Jika ∠BAC = 37° dan ∠CBA = 85°, maka besar ∠BPD adalah...?

Pembahasan:

Segitiga ABC sebangun dengan segitiga DEF karena D, E, F adalah titik tengah, sehingga:
• FD sejajar AC
• DE sejajar AB
Menghitung ∠BDF:
∠BDF = ∠BCA = 180° − 37° − 85° = 58°
Menghitung ∠FDE:
∠FDE = ∠BAC = 37°
Menghitung ∠BPD menggunakan sifat garis bagi:
∠BPD = 180° − (∠PBD/2) - ∠PDB/2)
= 180° - (85°/2) – (37°/2)
= 180° - 42,5° - 18, 5°
= 61°

Kesimpulan:

Jadi, besar sudut BPD adalah 61°.

Soal 7

Sebuah kotak berisi 11 bola yang bernomor 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. Jika 6 bola diambil secara acak, peluang bahwa jumlah angka dari bola yang diambil merupakan bilangan ganjil adalah...?

Pembahasan:

Kotak berisi:

6 bola bernomor ganjil: {1, 3, 5, 7, 9, 11}
5 bola bernomor genap: {2, 4, 6, 8, 10}

Agar jumlah angka yang diambil ganjil, maka kombinasi paritasnya harus:

1 ganjil dan 5 genap
C (6, 1) × C (5, 5) = 6 × 1 = 6
3 ganjil dan 3 genap
C (6, 5) × C (5, 1) = 6 × 5 = 30
5 ganjil dan 1 genap
C (6, 5) × C (5, 1) = 6 × 5 = 30

Total kemungkinan yang menghasilkan jumlah ganjil:

6 + 200 + 30 = 236

Total semua cara memilih 6 bola dari 11 bola:

C (11, 6) = 462

Peluang jumlah angka dari bola yang diambil merupakan bilangan ganjil:

236/462 = 118/231

Soal 8

Sisa pembagian dari 1 + 2 + 3 + ⋯ + 2012 dibagi 2012 adalah...?

Pembahasan:

Jumlah dari bilangan bulat pertama hingga n adalah:
Sn = n(n + 1)/2
Dengan n = 2012, maka:
S₂₀₁₂ = (2012 x 2013)/2
Karena 2013 ≡ 1 (mod 2012), maka:
(2012 x 2013)/2 = (2012 x 1)/2 (mod 2012)
= 1006 (mod 2012)
Jadi, sisa pembagian 1 + 2 + 3 + ⋯ + 2012 jika dibagi 2012 adalah 1006.

Itulah deretan soal Olimpiade Matematika SMP dan pembahasannya 2025 yang bisa dijadikan referensi untuk persiapan lomba. Semoga ulasan tersebut membantu peserta meraih pemahaman dan kesuksesan dalam Olimpiade. (NF)