Aturan Sinus, Cosinus, dan Luas Segitiga

Ilustrasi Aturan Sinus, Cosinus, dan Luas Segitiga. Foto: unsplash/Unsplash+.

Aturan Sinus, Cosinus, dan Luas Segitiga adalah konsep dasar dalam geometri yang sangat penting dalam mempelajari segitiga, terutama dalam segitiga sembarang. Ketiga aturan ini membantu kita memahami hubungan antara sisi dan sudut segitiga dengan lebih mendalam.

Dikutip dari Modul Matematika Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku, Ilmu Trigonometri ini tentunya memiliki penerapan dan manfaat dalam kehidupan sehari-hari kita, diantaranya pada bidang teknik sipil, arsitek bangunan, dan astronomi.

Aturan Sinus

Ilustrasi Aturan Sinus, Cosinus, dan Luas Segitiga. Foto: unsplash/Unsplash+.

Aturan Sinus merupakan salah satu aturan dalam trigonometri yang menjelaskan hubungan antara panjang sisi-sisi sebuah segitiga dengan sinus dari sudut-sudut yang berhadapan dengan sisi-sisi tersebut.

Aturan ini berlaku untuk semua jenis segitiga, baik itu segitiga sembarang maupun segitiga siku-siku. Dengan menggunakan aturan sinus, kita dapat menghitung panjang sisi yang tidak diketahui atau besar sudut segitiga jika beberapa informasi telah diberikan.

Secara matematis, aturan sinus dalam segitiga ABC dinyatakan sebagai berikut:

a/sin⁡A = b/sin⁡B = C/sin⁡C

Keterangan:

aaa adalah panjang sisi yang berhadapan dengan sudut AAA,

bbb adalah panjang sisi yang berhadapan dengan sudut BBB,

ccc adalah panjang sisi yang berhadapan dengan sudut CCC,

AAA, BBB, dan CCC adalah besar sudut-sudut segitiga.

Contoh Penerapan Aturan Sinus:

Navigasi dan Pemetaan: Aturan sinus sangat penting dalam navigasi laut dan udara. Misalnya, saat kapal atau pesawat terbang melintasi permukaan bumi yang melengkung, jarak antara dua titik bisa dihitung menggunakan sudut dan jarak yang diketahui sebelumnya.

Menggunakan aturan sinus memungkinkan pilot atau kapten kapal menentukan jalur terpendek dan mengukur jarak antara dua lokasi.

Astronomi: Aturan sinus digunakan dalam menghitung jarak antar benda langit. Misalnya, untuk mengukur jarak antara bumi dan bintang atau planet yang jauh. Dengan mengamati sudut dan pergerakan benda langit dari dua titik di bumi, para astronom dapat memperkirakan jarak benda langit tersebut dengan lebih akurat.

Geodesi (Ilmu Pengukuran Bumi): Saat ingin menentukan jarak antara dua titik yang sulit dijangkau secara langsung, seperti puncak gunung atau titik yang dipisahkan oleh lembah atau sungai, aturan sinus dapat digunakan. Misalnya, jika Anda mengetahui sudut pandang dari dua titik dan jarak satu sisi segitiga, Anda bisa menghitung jarak yang tidak terjangkau.

Desain Teknik Sipil: Dalam proyek-proyek teknik sipil, seperti pembangunan jembatan, aturan sinus membantu insinyur menghitung panjang kabel yang digunakan pada jembatan gantung atau sudut yang tepat untuk mendukung struktur bangunan agar lebih stabil.

Contoh Soal Aturan Sinus

Dalam sebuah segitiga ABC, diketahui panjang sisi a=15 cm, sisi b = 20 cm, dan sudut A = 30∘ . Tentukan besar sudut B dan panjang C.

Penyelesaian :

Langka 1: Gunakan aturan sinus untuk mencari sudut B.

Aturan sinus :

a/sin⁡A = b/sin⁡B

Substitusi nilai yang diketahui:

15/sin⁡〖30^0 〗 = 20/sin⁡B

Karena sin 300 = 0.5, maka:

15/0.5 = 20/sin⁡B

30 = 20/sin⁡B

Kalikan silang untuk mendapatkan sin B:

sinB = 20/30 = 0.6667

Cari sudut B :

B = arcsin(0.6667)=41.810

Jadi, sudut B adalah sekitar 41.810

Langkah 2: Tentukan sudut C.

Karena jumlah sudut dalam segitiga adalah 1800, maka:

C= 1800 – 300 - 41.810 = 108.190

Langka 3 : Gunakan aturan sinus lagi untuk mencari sisi c.

Aturan sinus:

c/sin⁡C = a/sin⁡A

Substitusi nilai yang diketahui:

c/sin⁡〖〖108.19〗^0 〗 = 15/sin⁡〖30^0 〗

Karena sin 108.190 = 0.951, maka:

c/0.951 = 15/0.5 = 30

Kalikan silang untuk mendapatkan c:

C = 30 x 0.951 =28.53

Jadi, Panjang sisi c adalah sekitar 28.53 cm.

Aturan Cosinus

Ilustrasi Aturan Sinus, Cosinus, dan Luas Segitiga. Foto: unsplash/Antoine Dautry.

Aturan Cosinus menjelaskan hubungan antara kuadrat panjang sisi dengan nilai cosinus dari sudut yang berlawanan pada sebuah segitiga. Aturan ini sangat berguna untuk menghitung panjang sisi atau besar sudut segitiga ketika beberapa sisi atau sudut diketahui.

Aturan cosinus berlaku untuk segitiga sembarang, dan khususnya bermanfaat dalam dua situasi:

Jika tiga sisi segitiga diketahui (kasus SSS, Side-Side-Side),

Jika dua sisi dan sudut apit diketahui (kasus SAS, Side-Angle-Side).

Rumus Aturan Cosinus:

C2 = a2 + b2 – 2ab.cos (C)

Atau

a2 + b2 + c2 – 2bc.cos (A)

atau

b2 = a2 + c2 – 2ac.cos (B)

Keterangan:

aaa, bbb, ccc adalah panjang sisi-sisi segitiga,

AAA, BBB, CCC adalah sudut yang berhadapan dengan sisi aaa, bbb, dan ccc masing-masing.

Contoh Penerapan Aturan Cosinus:

Arsitektur dan Desain Bangunan: Dalam desain bangunan yang memiliki bentuk tidak simetris atau sudut-sudut yang tidak tepat 90 derajat, aturan cosinus digunakan untuk menghitung panjang struktur dan sudut-sudut antara bagian bangunan. Misalnya, dalam merancang atap yang miring atau menentukan panjang balok pada struktur segitiga.

Pengukuran Tanah (Survei Lahan): Saat melakukan survei tanah, terutama di area berbentuk segitiga atau tidak beraturan, aturan cosinus digunakan untuk menghitung luas lahan dan jarak antara titik-titik yang tidak bisa diukur secara langsung. Ini penting dalam pembagian tanah, perencanaan jalan, atau proyek konstruksi lainnya.

Robotika: Dalam teknologi robotika, aturan cosinus digunakan untuk menghitung sudut dan gerakan lengan robot. Misalnya, ketika lengan robot harus mencapai suatu posisi tertentu dengan sudut dan jarak yang ditentukan, aturan cosinus membantu menentukan panjang dan orientasi bagian-bagian robot sehingga gerakannya lebih akurat.

Telekomunikasi dan Sistem GPS: Pada sistem telekomunikasi dan GPS, aturan cosinus digunakan untuk menghitung jarak dan posisi. Misalnya, dalam menentukan jarak antara dua menara pemancar atau untuk menghitung posisi pengguna yang diterima oleh beberapa satelit GPS. Aturan cosinus membantu menghitung jarak di antara mereka dengan memanfaatkan sudut dan panjang gelombang yang diterima.

Konstruksi Jembatan dan Menara: Dalam proyek konstruksi besar, seperti membangun jembatan atau menara, aturan cosinus membantu menentukan panjang dan kemiringan komponen struktur. Jika ada sudut tertentu yang harus diperhitungkan, aturan ini akan memberi tahu insinyur bagaimana menghubungkan elemen-elemen bangunan untuk memastikan stabilitas dan keamanan.

Contoh soal

Sebuah segitiga X Y Z dengan sisi-sisi x = 8cm, y=10cm dan sudut Z=600. Hitung Panjang sisi z.

Penyelesaian:

Gunakan aturan cosinus:

Z2 = x2 + y2 – 2xy.cos Z

Substitusi nilai yang diketahui:

Z2=82+102-2x8x10x cos 600

Karena cos 600 = 0.5, maka:

Z2 = 64 + 100 -2x8x10x0.5

Z2 = 164-80=84

Ambil akar kuadrat dari kedua sisi:

Z=√84 = 9.17 cm

Jadi, Panjang sisi z adalah sekitar 9.17

Luas Segitiga dengan Aturan Sinus

Ilustrasi Aturan Sinus, Cosinus, dan Luas Segitiga. Foto: unsplash/Antoine Dautry.

Luas segitiga dapat dihitung menggunakan aturan sinus jika diketahui dua sisi yang mengapit satu sudut di antara mereka. Aturan ini sangat berguna ketika kita tidak memiliki tinggi segitiga secara langsung tetapi tahu dua sisi dan sudut di antara mereka.

Misalkan terdapat segitiga ABC dengan panjang sisi aaa, bbb, dan ccc, serta besar sudut-sudut AAA, BBB, dan CCC. Jika dua sisi dan satu sudut diapit diketahui, luas segitiga dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut:

Luas = 1/2 .a.b.sin (C)

Keterangan:

• a dan b adalah dua sisi yang diketahui,

• c adalah sudut yang diapit oleh kedua sisi a dan b,

• sin ( C ) adalah nilai sinus dari sudut c.

Penerapan dalam Kehidupan Sehari-Hari:

Konstruksi Bangunan: Insinyur sering kali menggunakan aturan sinus ini untuk menghitung luas atap atau fondasi bangunan yang berbentuk segitiga. Jika diketahui dua sisi dan sudut di antara sisi-sisi tersebut, luas dapat dihitung dengan mudah menggunakan rumus ini.

Pengukuran Tanah: Dalam pengukuran tanah yang tidak beraturan, seringkali bidang tanah dibagi menjadi beberapa segitiga. Dengan mengetahui panjang sisi-sisi dan sudut-sudut tertentu, luas tanah tersebut dapat dihitung dengan aturan sinus.

Navigasi dan Pemetaan: Dalam perhitungan jarak di laut atau darat, aturan sinus juga digunakan untuk menghitung luas area yang dilalui. Jika diketahui jarak antara dua titik dan sudut yang terbentuk dari dua jalur, luas area yang diukur dapat dihitung.

Dengan memahami bagaimana menerapkan aturan sinus, cosinus, dan luas segitiga tersebut dalam kehidupan sehari-hari, kita dapat lebih mudah memecahkan masalah-masalah yang melibatkan perhitungan segitiga.

Ketiga aturan ini menjadi fondasi penting dalam eksplorasi dan penerapan konsep-konsep matematika yang lebih kompleks di masa depan.

Baca juga: 6 Contoh Soal Integral Trigonometri Materi Matematika Kelas 12