Determinan Matriks: Pengertian, Rumus, Sifat, dan Contoh Soal

ilustrasi determinan matriks. Foto: pexels.com.

Determinan Matriks menjadi salah satu materi Matematika yang dapat dipelajari pada kelas 11 SMA atau SMK sederajat. Matrik merupakan susunan bilangan berbentuk persegi panjang yang diatur dalam baris dan kolom dengan dibatasi kurung.

Baris merupakan susunan bilangan yang mendatar atau horizontal dan kolom adalah susunan bilangan yang tegak atau vertikal. Perlu dipahami bahwa setiap matrik dapat beroperasi jika ada dua matriks sebagai syarat dan ketentuan.

Hal tersebut juga berlaku pada operasi hitung determinan matriks. Sebelum tahu rumus dan cara mengerjakan, berikut pengertian determinan matriks dalam ilmu Matematika dan sifat-sifatnya.

Pengertian Determinan Matriks

ilustrasi pengertian determinan matriks. Foto: unsplash.com.

Dikutip dari buku Determinan Matriks Persegi & Non Persegi oleh Zaini, pengertian determinan matriks adalah nilai yang dihitung dari unsur-unsur matriks persegi. Hanya matriks persegi yang dapat dihitung determinannya.

Matrik persegi adalah matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama, sehingga saat digambarkan bentuk matriknya akan membentuk bangun layaknya persegi.

Contohnya jumlah baris 2 dan jumlah kolomnya 2. Kalaupun jumlah baris 3, kolomnya pun harus tiga begitu seterusnya.

Nilai determinan sebuah metrik disimbolkan dengan “|…|”. Misalnya matriks A nilai determinanya menjadi det A= |A|. Saat menentukan determinan sebuah matriks, terdapat dua aturan rumus berdasarkan ordo (banyaknya baris dan kolom pada satu matriks).

Bentuk umum dari sebuah ordo adalah m x n. Berikut aturan atau rumus yang digunakan untuk mencari determinan matriks, lengkap dengan sifat-sifat determinan matriks yang perlu dipahami.

Baca Juga: Contoh Soal Penjumlahan Matriks dalam Pelajaran Matematika

Rumus Determinan Matriks

Ilustrasi rumus determinan matriks. Foto: pexels.com.

Rumus determinan matriks dapat ditentukan dari ordo 2x2 dan ordo 3x3. Berikut penjelasan lengkapnya, dikutip dari buku dengan judul Think Smart Matematika oleh Gina Indriani.

a. Determinan Matriks Ordo 2x2

Determinan matriks ordo 2x2 adalah matriks yang terdiri dari dua baris dan dua kolom. Nilai determinannya dapat dicari seperti berikut ini:

A = [a b] det (A) = | a b | = ad- bc

[c d] | c d |

Cara menghitung determinan matriks ordo 2x2 adalah mengalikan elemen-elemen yang ada di diagonal utama. Selanjutnya kurangkan dengan elemen-elemen pada diagonal sekunder.

b. Determinan Matriks Ordo 3x3

Determinan matriks ordo 3x3 adalah matriks persegi yang memiliki tiga baris dan tiga kolom. Determinan ini dapat dihitung dengan dua cara, yakni aturan Sarrus dan ekspansi kofaktor.

Namun, yang sering digunakan untuk mencari nilai determinan Matrix ordo 3x3 adalah kaidah Sarrus. Berikut determinan Matrix ordo 3x3 dengan aturan kaidah Sarrus yang dapat dipelajari.

ilustrasi matriks ordo 3x3 pakai aturan Sarrus. Foto: kemendikbud.go.id

Saat menggunakan aturan Sarrus di atas, ada beberapa langkah yang harus dilakukan, yaitu sebagai berikut:

Setelah mengikuti aturan di atas akan ditemukan rumus di bawah ini.

|A| = (a x e x i) + (b x f x g) + ( c x dx h ) – (c x e x g) – ( a x f x h) – (b x d x i)

|A| = (aei +bfg+cdh) – (ceg+ afh+bdi)

Sifat-Sifat Determinan Metriks

Ilustrasi sifat-sifat determinan matriks. Foto: pexels.com.

Sebelum mempelajari contoh soal determinan metriks, Anda juga harus paham dengan sifat-sifat yang melekat saat mencari determinan metriks.

Dikutip dari buku Big Bank Soal + Bahas Matematika SMA oleh Prasetya Adhi Nugroho, berikut sifat determinan matriks yang perlu diketahui:

Contoh Soal Determinan Metriks Ordo 2x2

Ilustrasi contoh soal determinan matriks. Foto: pexels.com.

Melatih kemampuan untuk memahami materi determinan matriks pastinya diperlukan sebuah latihan soal dan tidak hanya membaca.

Agar lebih paham cara mencari nilai determinan matriks pada suatu kasus, berikut contoh determinan matriks ordo 2x2 yang bisa dipelajari:

1. Contoh soal 1

Tentukan determinan dari matriks A di bawah ini:

[ 5 3 ]

[ 2 3 ]

Jawaban:

|A| = | 5 3|

| 2 3|

|A| = (5)(3)-(2)(3)

|A| = 15-6 = 9

Maka jawaban determinan matriks A adalah 9

2. Contoh Soal 2

Tentukan determinan dari matriks di bawah ini

B = [ 2 3 ]

[ 3 5 ]

Jawabannya:

|A| = [ 2 3 ]

[ 3 5 ]

|A| = (2) (5)- (3)(3)

|A| = 10-9=1

Maka determinan matriks B adalah 1

3. Contoh Soal 3

Diketahui nilai Matriks A, B, C pada gambar berikut

A = [ 3 -2 ], B = [ 4 3 ] C= [ 4 10 ]

[ 4 -1 ] [ -2 -1] [ 9 12]

Tentukan nilai determinan dari matriks (AB-C) adalah

Jawabanya yaitu:

A = [ 3 -2 ], B =[4 3], C= [ 4 10]

[ 4 -1 ] [-2-1] [ 9 12]

AB-C = [ 3 -2 ] [ 4 3 ] - [ 4 10]

[4 -1] [ -2 -1] [ 9 12]

= [ 16 11 ] [ 4 10]

[ 18 13] [ 9 12]

= [12 1]

[ 9 1]

Maka det AB-C = 12 x 1- 9x 1 = 3

Contoh Soal Determinan Metriks Ordo 3x3

Ilustrasi contoh soal determinan matriks. Foto: pexels.com.

Setelah mempelajari determinan metriks ordo 2x2, sekarang saatnya mempelajari contoh soal metriks 3x3. Berikut daftar soal yang dapat dipelajari.

1. Contoh Soal 1

Tentukan nilai determinan dari matriks di bawah ini:

[ 1 2 3]

[ 2 1 0]

[3 1 2]

Maka jawabannya dengan menggunakan metode sarrus

|A| = D utama - D sekunder

|A| = [(1)(1)(2)+(2)(0)(3)+(3)(2)(1)]-[(3)(1)(3)+(1)(0)(1)+(2)(2)(2)]

|A| = [2+0+6] –[9+0+8]

|A|= 8 -17

|A| = -9

Jadi nilai determinan di atas adalah 9

2. Contoh Soal 2

Tentukan determinan matriks B dengan nilai berikut

[ 2 3 1]

[ 2 1 2]

[ 1 1 1]

Jawabannya yaitu:

|B| = [ 2 3 1] (2 3)

[2 1 2 ] (2 1)

[ 1 1 1] (1 1)

|B| = [ (2) (1) (1) +(3) (2) (1) + (1) (2) (1) – (1) (1) (1) – (2)(2)(1)-(3) (2) (1)

|B| = 2+6+2-1-4-6 = -1

3. Contoh Soal 3

Tentukan determinan Matriks C dengan nilai berikut

[ 2 1 3]

[ 1 4 2]

[ 3 1 2]

Jawabannya yaitu:

Cara mencari determinan matriks C pada soal di atas dapat menggunakan rumus berikut

|A| = (a x e x i) + (b x f x g) + ( c x dx h ) – (c x e x g) – ( a x f x h) – (b x d x i)

|A| = (aei +bfg+cdh) – (ceg+ afh+bdi)

Maka jawabannya adalah

|C| = [ 2 1 3] ( 2 1)

[ 1 4 2] ( 1 4)

[ 3 1 2] ( 3 1)

|C|= (2 . 4 . 2 + 1. 2. 3 + 3 . 1 . 1) - (3 . 4 . 3 + 2. 2. 1 + 1 . 1 . 2)

|C|= (16 + 6 + 3) - (36 + 4 + 2) = 25 - 43 = -17

4. Contoh Soal 4

Tentukan nilai determinan Metrik D berikut

[1 2 3 ]

[2 1 4]

[3 1 2]

Maka determinan D adalah sebagai berikut:

|D|= [1 2 3] (1 2)

[2 1 4] (2 1)

[3 1 2] (3 1)

|D|= (1)(1)(2)+(2)(4)(3)+(3)(1)(3)-(1)(4)(1)-(2)(2)(2)

|D| = 2+24+6-9-4-8

|D| = 11

(IPT)