Eksponen: Pengertian, Contoh, dan Rumusnya

Ilustrasi buku yang membahas tentang eksponen. Foto: Pixabay

Dalam matematika, eksponen adalah angka yang menunjukkan banyaknya sebuah bilangan pokok. Sederhananya, eksponen merupakan sebutan dari banyaknya nilai pangkat dari bilangan pokok.

Eksponen juga dapat bisa disebut sebagai bilangan kecil yang letaknya berada di sebelah kanan atas bilangan lainnya. Kemudian, apabila bilangan eksponen tadi digunakan dalam operasi perhitungan, maka sifat-sifatnya akan berubah.

Selain di bidang matematika, bentuk eksponen juga dipakai dalam bidang ekonomi, khususnya dalam perbankan, selain itu juga dalam bidang sosial untuk menghitung pertumbuhan penduduk. Agar lebih paham, simak penjelasan lengkapnya di bawah ini.

Apa Itu Eksponen dan Contohnya?

Ilustrasi matematika. Foto: Pixabay

Eksponen adalah sebuah kata yang termasuk dalam golongan homonimim, karena memiliki ejaan dan pelafalan yang sama tetapi memiliki makna berbeda-beda.

Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI), pengertian dan contoh eksponen di antaranya sebagai berikut:

• Eksponen adalah orang yang menerangkan atau menafsirkan suatu teori, yang dapat mewakili dan menjadi contoh dari teori tersebut atau orang yang menganut teori tersebut. Contohnya, Huxley merupakan seorang eksponen dari teori evolusi Darwin.

• Eksponen adalah orang atau tokoh terkemuka dalam suatu gerakan atau bidang kehidupan. Contohnya, eksponen Angkatan 45.

• Eksponen adalah angka dan sebagainya yang ditulis di sebelah kanan atas angka lain yang menunjukkan pangkat dari angka tersebut. Contohnya, 2^2 (dibaca dua pangkat dua).

Sementara menurut penjelasan dari buku Rumus Pocket Matematika SMA Kelas X, XI, XII oleh Tim Kompas Ilmu, eksponen adalah cara singkat untuk menuliskan perkalian berulang. Eksponen dalam matematika juga memiliki bentuk yang umum.

Lantas, bentuk umum eksponen itu seperti apa? Misalkan, a adalah bilangan real dan n merupakan bilangan bulat positif, maka bentuk umum eksponen adalah sebagai berikut.

a^n = a x a x a x a … x a

Keterangan:

• a^n adalah hasil kali bilangan a sebanyak n faktor.

• a dapat disebut sebagai bilangan pokok atau basis, sementara n disebut sebagai pangkat.

Apabila eksponen digunakan dalam operasi hitung, sifat-sifatnya akan berubah. Dituliskan dalam buku Big Pelajaran SMA oleh Tim Mentor Indonesia, berikut sifat-sifat eksponen dalam operasi hitung lengkap dengan contohnya:

• a^m x a^n = a^m+n (dalam bentuk perkalian, pangkat akan ditambah), contohnya 3^2 x 3^3 = 3^2+3=3^5

• a^m ÷ a^n = a^m-n (dalam bentuk pembagian, pangkat akan dikurangi), contohnya 2^4 : 2^2=2^4-2=2^2

• (a^m) ^n = am x n (jika ada di dalam bentuk kurungan, pangkat akan dikalikan), contohnya (3^2) ^2= 3^2x2=3^4

• (a x b) ^m = a^m x b^m (bila ada dua bilangan di dalam kurungan, kemudian diberi pangkat, maka kedua bilangan tersebut akan memiliki pangkat yang sama), contohnya (2 x 3)^2= (2^2 x 3^2)

• (a/b) ^m = a^m / b^m (penyebut tidak boleh sama dengan 0, dan dalam bentuk ini, penyebut dan pembilang akan memiliki pangkat), contohnya (3/2) ^2= 3^2/2^2

• 1 / a^n = a^-n (untuk sifat ini, bila penyebut bernilai positif dan kemudian dipindahkan ke atas, maka penyebut tersebut akan negatif. Begitu pun sebaliknya), contohnya 1/2^3= 2^-3

• n√a^m = a^m/n (dalam bentuk akar seperti ini, bila disederhanakan n akan menjadi penyebut dan m akan menjadi pembilang. n harus lebih atau sama besar dengan 2), contohnya 2√9^4 = √9^4/2 = √9^2

• a^0 = 1 (a tidak boleh sama dengan 0), artinya berapa pun bilangan pokoknya, jika ia berpangkat nol maka nilainya sama dengan satu.

Apa Saja Rumus-Rumus Eksponen?

Ilustrasi rumus eksponen. Foto: Pixabay

Diperlukan sebuah rumus apabila ingin menentukan suatu eksponen dalam matematika. Rumus eksponen di dalam matematika terbagi menjadi dua bagian besar, yakni persamaan eksponen dan pertidaksamaan eksponen. Berikut penjelasannya:

1. Persamaan eksponen

Merujuk buku Pasti Bisa Matematika untuk SMA/MA Kelas X oleh Tim Ganesha Operation, persamaan eksponen adalah persamaan yang mengandung fungsi-fungsi eksponen. Bentuk-bentuk persamaan eksponen adalah sebagai berikut.

a. a^f(x) = 1, maka f(x) = 0

Contoh:

2^x-4 = 1

2x – 4 = 0

2x = 4

X = 4/2

x = 2

Jadi, x = 2 adalah penyelesaiannya.

b. a^f(x) = a^p, a ≠ 0, maka f(x) = p

Contoh:

2^2x-5= 2^3

2x – 5 = 3

2x = 3 + 5

2x = 8

x = 8/2

x = 4

Jadi, x = 2 adalah penyelesaiannya.

c. a^f(x) = a^g(x), a ≠ 0, maka f(x) = g(x)

Contoh

2^3-10 = 2^4x-5

3x – 10 = 4x – 5

3x – 4x = -5 + 10

x = -5

Jadi, x = -5 adalah penyelesaiannya.

d. a^f(x) = b^f(x); a, b ≠ 0; a, b ≠ 1; dan a ≠ b, maka f(x) = 0

Contoh:

2^5x-5 = 3^5x-5

5x – 5 = 0

5x = 5

x = 1

Jadi, x = 1 adalah penyelesaiannya.

e. A(a^f(x))^2 + B(a^f(x)) + C = 0, maka penyelesaiannya adalah dengan pemisalan p = a^f(x)

Contoh:

2^2x – 3 . 2^2x + 2 = 0

(2^x)^2 – 3 . 2^x + 2 = 0

Misalkan p = 2^x, maka p^2 – 3p + 2 = 0

(p – 2) (p – 1) = 0

p = 2 atau p = 1

2^x = 2

x = 1

Jadi, x = 1 adalah penyelesaiannya.

f. f(x)^g(x) = f(x)^b(x)

Persamaan ini akan terdapat 4 kemungkinan, yaitu:

g(x) = b(x)

f(x) = 1

f(x) = -1, dengan g(x) dan b(x) bersama-sama genap atau ganjil

f(x) = 0, dengan g(x) > 0 dan b(x) > 0

2. Pertidaksamaan eksponen

Kembali mengutip buku Pasti Bisa Matematika untuk SMA/MA Kelas X oleh Tim Ganesha Operation, pertidaksamaan eksponen adalah pertidaksamaan yang di dalamnya terdapat bentuk eksponen atau pangkat yang memuat variabel x.

Penyelesaian pertidaksamaan eksponen dapat ditentukan menggunakan sifat-sifat fungsi naik dan turun pada eksponen tersebut. Berikut rumusnya:

a. a^f(x) > a^g(x)

Penyelesaiannya:

Jika 0 < a < 1, maka f(x) < g(x)

Jika a > 1, maka f(x) > g(x)

b. a^f(x) < a^g(x)

Penyelesaiannya:

Jika 0 < a < 1, maka f(x) > g(x)

Jika a > 1, maka f(x) < g(x)

Apa Invers dari Eksponen?

Ilustrasi rumus eksponen. Foto: Pixabay

Dikutip dari buku Think Smart Matematika, invers artinya adalah kebalikan. Misalkan ada fungsi y = f(x) yang bijektif, maka inverse fungsinya adalah y = f(x) <-> f^-1(y). Ada pun langkah-langkah untuk menentukan rumus inverse adalah sebagai berikut.

• Ubahlah bentuk y = f(x) menjadi bentuk x = f(y).

• Tuliskan x sebagai f^-1(y) sehingga f^-1(y) = f(y).

• Ubahlah variabel y dengan x sehingga diperoleh rumus fungsi inverse f^-1(x).

• Agar lebih paham, simak invers dari eksponen, seperti yang dituliskan dalam buku Rumus Saku Matematika SMA karya Farid Hirji Badruzzaman, berikut ini:

Tulislah dalam bentuk eksponen untuk soal 1 dan 2, dan tulislah dalam bentuk logaritma untuk soal 3 dan 4!

1. ^5log625 = 4

2. 6 = ^2logx

3. (1/2)^x = 8

4. 8 = 3^x

Jawab

1. Logaritma 625 dengan bilangan pokok 5 sama dengan 4, berarti bahwa 5 dipangkatkan 4 menghasilkan 625. Jadi, 54 = 625.

2. Persamaan 6 = ^2logx adalah ekivalen dengan 2^6 = x.

3. Persamaan (1/2)^x = 8 adalah ekivalen dengan ^1/2log8 = x.

4. Persamaan 8 = 3^x adalah ekivalen dengan ^3log8 = x.

Dari contoh di atas, invers dari fungsi eksponen f(x) = a^x dengan bilangan pokok a adalah fungsi logaritma dengan bilangan pokok a, yaitu f^-1(x)= ^alogx.

Baca Juga: 9 Contoh Soal Pertumbuhan dan Peluruhan Matematika SMA

(NDA)

Frequently Asked Question Section

Apa bentuk umum eksponen?

Misalkan, a adalah bilangan real dan n merupakan bilangan bulat positif, maka bentuk umum eksponen adalah a^n = a x a x a x a … x a. Keterangan: a^n adalah hasil kali bilangan a sebanyak n faktor dan a dapat disebut sebagai bilangan pokok atau basis, sementara n disebut sebagai pangkat.

Apa itu persamaan eksponen?

Persamaan eksponen adalah persamaan yang mengandung fungsi-fungsi eksponen. Salah satu bentuknya adalah a^f(x) = 1, maka f(x) = 0.

Apa itu invers?

Invers artinya adalah kebalikan. Misalkan ada fungsi y = f(x) yang bijektif, maka inverse fungsinya adalah y = f(x) <-> f^-1(y).