Materi Logika Matematika Lengkap dengan Contoh Soalnya
Menyajikan beragam informasi terbaru, terkini dan mengedukasi.
·waktu baca 8 menit
Tulisan dari Kabar Harian tidak mewakili pandangan dari redaksi kumparan
PerbesarDaftar isi
Daftar isi
Daftar isi
Materi logika matematika adalah salah satu cabang ilmu matematika. Materi ini melatih peserta didik bagaimana cara berpikir secara logis, sehingga dapat menarik kesimpulan berdasarkan kondisi-kondisi yang muncul.
Banyak orang yang mengira materi logika matematika bukanlah pelajaran matematika karena peserta didik tak diajak menghitung angka. Sementara itu, logika matematika sangat mudah dijumpai dalam kehidupan sehari-hari.
Melalui artikel ini, Kabar Harian akan menjelaskan tentang materi logika matematika. Simak selengkapnya di bawah!
Pengertian Materi Logika Matematika
Merangkum dari modul Logika Matematika yang diterbitkan Universitas Dirgantara Marsekal Suryadama pada 2022, logika atau logic berasal dari Bahasa Yunani "logos" yang berarti kata, ucapan, atau alasan.
Sementara itu, berdasarkan Kamus Besar Bahasa Indonesia, matematika adalah ilmu tentang bilangan, prosedur operasional, dan hubungan antar bilangan yang digunakan untuk menyelesaikan masalah terkait bilangan.
Istilah logika matematika pertama kali diperkenalkan Giuseppe Peano yang menjelaskan tentang aturan-aturan logika menggunakan kaidah matematika untuk membuktikan validitas sebuah argumen.
Materi logika matematika sangat penting untuk pola pikir agar dapat menarik kesimpulan sah atau tidak. Logika matematika juga akan memberikan alasan kritis tentang berbagai permasalahan di kehidupan sehari-hari.
Baca Juga: Program Linear: Pengertian, Model Matematika, dan Contoh Soalnya
Kalimat Terbuka dan Pernyataan dalam Logika Matematika
Merangkum buku Matematika 2 SMK Kelas XI, dalam materi logika matematika terdapat kalimat terbuka dan pernyataan. Kalimat terbuka adalah sebuah kalimat yang belum diketahui nilainya benar atau salah. Misalnya:
x = 2 = 51
Semoga Anda berhasil.
3x < 9
Mudah-mudahan hari ini tak hujan.
Kalimat 2 dan 4 belum dapat disebut pernyataan karena diperlukan pengamatan dan penyelidikan terlebih dahulu tentang kebenarannya.
Sementara, kalimat 1 dan 3 adalah kalimat terbuka matematika yang bisa diubah menjadi pernyataan apabila variabelnya diganti menjadi sebuah bilangan. Misalnya, pada kalimat 1, apabila variabel x diubah menjadi 4, kalimat tersebut menjadi pernyataan bernilai salah.
Lebih lanjut, pernyataan adalah kalimat yang bernilai benar atau salah saja, tak bisa sekaligus dua-duanya. Pernyataan bernilai benar jika terdapat kesesuaian antara yang dinyatakan kalimat tersebut dengan keadaan sebenarnya.
Berikut ini beberapa contoh kalimat pernyataan yang bernilai benar:
Indonesia merdeka pada 17 Agustus 1945.
Ir. Soekarno adalah presiden pertama RI.
Jakarta adalah ibukota negara Indonesia.
7 adalah bilangan prima.
Kemudian, di bawah ini adalah contoh kalimat pernyataan yang bernilai salah.
3 > 5
√2 adalah bilangan rasional.
Kata Hubung Logika dalam Logika Matematika
Masih merangkum menyadur buku Matematika 2 SMK Kelas XI, ada beberapa jenis kata hubung logika dalam materi ini, yaitu ingkaran atau negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi.
Kata hubung logika menggunakan kalimat majemuk, yaitu kalimat yang dibentuk dengan menggabungkan dua pernyataan atau lebih. Dua pernyataan dapat digabungkan menggunakan kata hubung, seperti jika, dan, atau, maka, hanya jika.
Berikut ini penjelasan lebih lanjut tentang kata hubung logika:
1. Ingkaran atau Negasi
Ingkaran atau negasi dari pernyataan p dilambangkan dengan ~p. Apabila pernyataan p bernilai benar, ~p bernilai salah. Sebaliknya, jika p bernilai salah, ~p bernilai benar.
Sebuah pernyataan p dapat dibentuk ingkaran ~p dengan menambahkan kata "tidak benar bahwa" di depan pernyataan tersebut. Bisa juga menyisipkan kata "tidak" atau "bukan" di dalam pernyataannya.
Agar lebih mudah memahami ingkaran atau negasi, perhatikan contoh soal matematika di bawah ini.
Tentukan negasi atau ingkarannya dari pernyataan berikut ini.
a) p: Semua murid kelas I Teknik Industri adalah laki-laki.
Jawaban:
~p: Tidak benar bahwa semua murid kelas I Teknik Industri adalah laki-laki.
~p: Beberapa murid kelas I Teknik Industri bukan laki-laki.
~p: Ada murid kelas I Teknik Industri bukan laki-laki.
b) p: 2 x 5 = 7
Jawaban:
~p: Tidak benar bahwa 2 x 5 =7
~p: 2 x 5 ≠ 7
c) p: 5 > 3
Jawaban:
~p: 5 ≤ 3
d) p: 3 ≤ 2
Jawaban:
~p: 3 > 2
e) p: Beberapa harga barang naik menjelang lebaran.
Jawaban:
~p: Semua barang tidak naik menjelang lebaran.
~p: Tidak benar bahwa ada harga barang yang naik menjelang lebaran.
f) p: Ada siswa SMK yang tak melaksanakan prakerin.
Jawaban:
~p: Tak benar bahwa ada siswa SMK yang tak melaksanakan prakerin.
~p: Semua siswa SMK melaksanakan prakerin.
g) p: Semua murid mengatakan bahwa pelajaran matematika itu sukar.
Jawaban:
~p: Tidak benar bahwa semua murid mengatakan bahwa pelajaran matematika itu sukar.
~p: Beberapa murid mengatakan bahwa pelajaran matematika itu tak sukar.
~p: Ada murid yang mengatakan bahwa pelajaran matematika itu tak sukar.
2. Konjungsi
Apabila terdapat p dan q yang bisa digabung menggunakan kata hubung "dan" sehingga membentuk pernyataan majemuk, pernyataan tersebut disebut konjungsi. Konjungsi dari p dan q dituliskan dengan notasi p ^ q, dibaca "p dan q".
Berikut ini beberapa contoh soal tentang konjungsi dalam materi logika matematika. Peserta didik diminta untuk menentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut.
a) 3 x 4 = 12 dan 9 adalah bilangan ganjil.
Jawaban:
3 x 4 = 12 (benar)
9 adalah bilangan ganjil (benar)
Jadi, pernyataan "3 x 4 = 12 dan 9 adalah bilangan ganjil" bernilai benar.
b) 2 adalah bilangan prima dan 3 x 3 = 6.
Jawaban:
2 adalah bilangan prima (benar)
3 x 3 = 6 (salah)
Jadi, pernyataan "2 adalah bilangan prima dan 3 x 3 = 6" bernilai salah.
c) 2 x 3 = 5 dan 5 adalah bilangan cacah.
Jawaban:
2 x 3 = 5 (salah)
5 adalah bilangan cacah (benar)
Jadi, pernyataan "2 x 3 = 5 dan 5 adalah bilangan cacah" bernilai salah.
d) 9 adalah bilangan prima dan 9 adalah bilangan genap.
Jawaban:
9 adalah bilangan prima (salah)
9 bilangan genap (salah)
Jadi, pernyataan "9 adalah bilangan prima dan 9 adalah bilangan genap" bernilai salah.
3. Disjungsi
Disjungsi adalah sebuah pernyataan majemuk yang terdiri dari p dan q digabung menggunakan kata hubung "atau". Disjungsi dari pernyataan p atau q dinyatakan dengan lambang p v q, dibaca "p atau q".
Disjungsi akan bernilai salah apabila kedua pernyataannya salah, selain itu nilainya benar. Berikut ini beberapa contoh soal berkaitan dengan disjungsi dalam materi logika matematika di mana peserta didik diminta menentukan nilai x agar tiap kalimat menjadi pernyataan benar.
a) 2x - 3 = x + 2 atau 2 bilangan ganjil.
Jawaban:
2 bilangan ganjil adalah pernyataan salah. Agar kalimat menjadi disjungsi yang benar, kalimat terbuka 2x - 3 = x + 2 harus benar. Sehingga:
2x - 3 = x + 2
2x - x = 3 + 2
x = 5
Jadi, nilai x = 5
b) x^2 - 9 = 0 atau 3 + 3 = 9
Jawaban:
Karena 3 + 3 = 9 salah, sehingga x^2 - 9 = 0 harus benar sehingga kalimat majemuk menjadi disjungsi yang benar.
x^2 - 9 = 0
(x + 3) (x - 3) = 0
x + 3 = 0 atau x - 3 = 0
x = -3 atau x = 3
Jadi, nilai x = -3 atau x = 3
4. Implikasi
Implikasi adalah pernyataan majemuk dari p dan q digabungkan dengan kata hubung "jika... maka...". Implikasi dari pernyataan p terhadap q yang dilambangkan p => q dibaca "jika p maka q".
Jika p maka q akan bernilai salah, jika pernyataan p benar dan q salah. Selain itu, implikasi bernilai benar.
Berikut ini beberapa contoh soal tentang implikasi, peserta didik diminta menentukan nilai kebenaran dari pernyataan yang disajikan.
a) Jika x = 3, maka x^2 = 9.
Jawaban:
Himpunan penyelesaian x = 3 adalah {3}
Himpunan penyelesaian x^2 = 9 adalah {-3, 3}
Karena {3} merupakan himpunan bagian dari {-3, 3}, maka implikasi "jika x = 3, maka x^2 = 9" bernilai benar.
b) Jika ABCD persegi, maka diagonal AC ≠ BD
Jawaban:
p: ABCD persegi (benar)
q: diagonal AC ≠ BD (salah)
Jadi, implikasi p => q bernilai salah.
c) Jika pelabuhan Merak berlokasi di Jakarta, maka Bogor berlokasi di Jawa Barat.
Jawaban:
p: Pelabuhan Merak berlokasi di Jakarta (salah)
q: Bogor terletak di Jawa Barat (benar)
Jadi, implikasi p => q bernilai benar.
d) Jika 120 derajat adalah sudut lancip, maka 30 derajat adalah sudut tumpul.
Jawaban:
p: 120 derajat adalah sudut lancip (salah)
q: 30 derajat adalah sudut tumpul (salah)
Jadi, implikasi p => q bernilai benar.
5. Biimplikasi
Biimplikasi adalah pernyataan majemuk yang terbentuk dari p dan q digabung dengan kata hubung "... jika dan hanya jika ...". Biimplikasi dilambangkan dengan p <=> q, dibaca "p jika dan hanya jika q". Biimplikasi bernilai benar jika p dan q memiliki nilai kebenaran yang sama, selain itu nilainya salah.
Berikut ini beberapa contoh soal biimplikasi yang harus menentukan nilai kebenaran dari pernyataan yang disajikan.
a) Pelabuhan Merak terletak di Banten jika dan hanya jika Bogor terletak di Jawa Barat.
Jawaban:
p: Pelabuhan Merak terletak di Banten (benar)
q: Bogor terletak di Jawa Barat (benar)
Jadi, pernyataan p <=> q bernilai benar.
b) 120 derajat adalah sudut lancip jika dan hanya jika 30 derajat sudut tumpul.
Jawaban:
p: 120 derajat adalah sudut lancip (salah)
q: 30 derajat adalah sudut tumpul (salah)
Jadi, pernyataan p <=> q bernilai benar.
(NSF)