Program Linear: Pengertian, Model Matematika, dan Contoh Soalnya

Ilustrasi pengerjaan matematika. Foto: iStock

Program linear adalah suatu metode matematika yang digunakan untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan optimasi linear (nilai maksimum dan nilai minimum).

Permasalahan yang berhubungan dengan program linear selalu berhubungan dengan fungsi objektif (fungsi tujuan) berdasarkan kondisi-kondisi yang membatasinya. Dalam hal ini, optimasinya berupa memaksimalkan atau meminimalkan fungsi objektif.

Dikutip dari Matematika Kelas XII Jilid 3A oleh Marthen Kanginan, program linear biasanya berbentuk sistem pertidaksamaan linear. Sistem pertidaksamaan linear menggunakan tanda ketidaksamaan berupa (<), (>), (≤), (≥).

Artikel ini akan membahas lebih jauh mengenai program linear, penerapan, dan contoh soalnya.

Mengenal Program Linear

Ilustrasi pengerjaan matematika. Foto: iStock

Dikutip dari Kompetensi Matematika 3 oleh Johanes, program linear merupakan bagian dari matematika yang berbentuk model, yang terdiri dari pertidaksamaan linear sebagai salah satu metode untuk memecahkan berbagai persoalan dalam kehidupan sehari-hari.

Secara umum, program linear terdiri dari dua bagian, yaitu fungsi objektif (fungsi tujuan) dan fungsi kendala.

1. Fungsi Objektif (Fungsi Tujuan)

Fungsi objektif adalah fungsi yang nilainya akan dioptimalkan. Fungsi objektif bisa bernilai maksimum atau minimum. Hal ini tergantung pada kasusnya.

Jika fungsi objektif biaya produksi, nilainya dicari yang minimum. Namun, kalau fungsi objektif berupa keuntungan, nilainya dicari yang maksimum.

Bentuk umum fungsi tujuan adalah maksimum atau minimum f(x, y) = px + qy, dengan p dan q adalah konstanta.

2. Fungsi Kendala

Fungsi kendala adalah batasan-batasan yang harus dipenuhi oleh peubah yang terdapat dalam fungsi objektif. Bentuk umum dari fungsi kendala adalah sebagai berikut.

ax + by ≤ m atau ax + by ≥ m

cx + dy ≤ n atau cx + dy ≥ n

x ≥ 0 ; y ≥ o atau x ≥ 0 ; y ≥ o

Berikut karakteristik program linear.

Penerapan Program Linear dengan Model Matematika

Ilustrasi perhitungan matematika. Foto: iStock

Beberapa masalah mengoptimalkan yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari dapat diselesaikan menggunakan program linear, dengan kendala atau batasan-batasan yang harus diterjemahkan ke dalam sistem pertidaksamaan linear.

Untuk menerjemahkannya digunakan model matematika, yakni uraian secara matematika (sering kali menggunakan fungsi atau persamaan) dari fenomena dunia nyata.

Langkah-langkah menuliskan persoalan sehari-hari ke dalam model matematika adalah sebagai berikut.

Model matematika terdiri atas dua bagian, yaitu:

Nilai optimum fungsi objektif adalah nilai maksimum atau minimum fungsi objektif sebagai hasil dari substitusi titik-titik ekstrem terhadap fungsi linear f(x, y) = px + qy, penjabarannya sebagai berikut.

1. Nilai Maksimum Fungsi Objektif

Nilai maksimum f(x, y) = px + qy dengan kendala:

ax + by ≤ m

cx + dy ≤ n

x ≥ 0 ; y ≥ o

2. Nilai Minimum Fungsi Objektif

Nilai minimum f(x, y) = px + qy dengan kendala:

ax + by ≥ m

cx + dy ≥ n

x ≥ 0 ; y ≥ o

Baca Juga: Daerah Layak Program Linier: Pengertian, Penerapan, dan Contoh Soalnya

Contoh Soal Model Matematika

Ilustrasi mengerjakan soal matematika. Foto: Pexels

Berikut contoh soal matematika mengenai masalah optimasi nilai maksimum pada model matematika.

Seorang penjahit pakaian mempunyai persediaan 16 meter kain sutera, 15 meter katun, dan 11 meter kain wool yang akan dibuat dua model pakaian dengan perincian sebagai berikut.

Keuntungan pakaian model A Rp3.000,00 per unit dan keuntungan pakaian model B Rp5.000,00 per unit.

Tentukan berapa banyak masing-masing pakaian harus dibuat agar didapat keuntungan yang sebesar-besarnya.

Jawab:

Permasalahan di atas dapat disajikan dalam tabel berikut.

Gambar Contoh Soal 1. Foto: Buku Kompetensi Matematika 3

Misalnya, jumlah model A yang dibuat adalah x unit, dan jumlah model B yang dibuat adalah y unit.

Permasalahan ini merupakan maksimalisasi keuntungan, yaitu:

f(x, y) = 3.000x + 5.000y

dengan kendala:

2x + y ≤ 16

x + 2y ≤ 11

x + 3y ≤ 15

x ≥ 0; y ≥ 0

Daerah penyelesaian dari kendala permasalahan tersebut ditunjukkan oleh gambar berikut.

Gambar Contoh Soal 2. Foto: Buku Kompetensi Matematika 3

Dari gambar di atas, diperoleh titik-titik ekstremnya adalah:

Lakukan pengujian titik-titik ekstrem tersebut pada fungsi objektif f(x, y) = 3.000x + 5.000y dan diperoleh:

Dari hasil substitusi titik ekstrem tersebut, diperoleh bahwa keuntungan maksimum adalah Rp31.000,00, yaitu dengan membuat 7 unit model pakaian A dan 2 unit model pakaian B.

(SFR)