Materi Notasi Sigma, Sifat-Sifat, dan Contoh Soalnya
Menyajikan beragam informasi terbaru, terkini dan mengedukasi.
·waktu baca 7 menit
Tulisan dari Kabar Harian tidak mewakili pandangan dari redaksi kumparan
PerbesarDaftar isi
Daftar isi
Daftar isi
Notasi sigma memang jarang dijumpai di kehidupan sehari-hari, tetapi sering dijumpai pada pelajaran matematika, terutama statistika dan kalkulus. Notasi sigma dilambangkan dengan Σ.
Agar lebih paham tentang materi notasi sigma, simak artikel ini hingga habis!
Materi Notasi Sigma
Menurut Notasi Sigma karya Fadjar Shadiq, M.App. Sc, simbol Σ, dibaca sigma, adalah notasi yang merupakan huruf kapital (huruf besar) Yunani untuk 'S'. Huruf 'S' sendiri merupakan huruf awal kata "sum" yang berarti "jumlah".
Sehingga, dapat disimpulkan bahwa notasi Σ yang diperkenalkan Leonhard Euler pada 1755 berarti "jumlah dari".
Mengutip buku Pembelajaran Barisan, Deret Bilangan, dan Notasi Sigma di SMA terbitan Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan Matematika pada 2008, berikut ini beberapa contoh penerapan notasi sigma!
Notasi sigma di atas dapat dibaca, "sigma dari (3k + 1)^2 untuk k = 1 sampai dengan k = 6".
Sementara itu, makna dari notasi sigma di atas adalah 4^2 + 7^2 + 10^2 + 13^2 + 16^2 + 19^2. Hal tersebut diperoleh dari nilai k = 1 sampai k = 6. Sehingga, dapat dijabarkan sebagai berikut:
3k + 1 = 3.1 + 1 = 4
3k + 1 = 3.2 + 1 = 7
3k + 1 = 3.3 + 1 = 10
3k + 1 = 3.4 + 1 = 13
3k + 1 = 3.5 + 1 = 16
3k + 1 = 3.6 + 1 = 19
Setelah mengetahui bagaimana cara mengekspansikan bentuk notasi sigma, peserta didik juga perlu memahami bagaimana menyatakan sebuah deret ke dalam bentuk notasi sigma. Perhatikan contoh soal matematika di bawah ini.
Tentukan dalam notasi sigma untuk bilangan berikut: 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13.
Penyelesaian:
Menentukan pola suku ke-1, ke-2, dan seterusnya, yaitu diperoleh:
Suku ke-1 = 3 = 2 (1) + 1
Suku ke-2 = 5 = 2 (2) + 1
Suku ke-3 = 7 = 2 (3) + 1, dan seterusnya sehingga
Suku ke-6 = 13 = 2 (6) + 1
Dengan melihat pola di atas, dapat diketahui bahwa suku-suku dalam penjulahan memiliki pola 2k+1, sehingga dapat ditulis dalam notasi sigma berikut:
Σ (2k + 1), k =1 sampai k = 6
Baca Juga: Program Linear: Pengertian, Model Matematika, dan Contoh Soalnya
Sifat-Sifat Notasi Sigma dan Pengguaannya untuk Menyelesaikan Soal
Ada sederet sifat notasi sigma yang perlu diketahui peserta didik. Menyadur buku Pembelajaran Barisan, Deret Bilangan, dan Notasi Sigma di SMA terbitan Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan Matematika pada 2008, berikut ini sifat-sifat notasi sigma yang biasa digunakan untuk menyelesaikan soal terkait notasi sigma:
Σ 1 = n
Σ cf (k) = c Σ f (k)
Σ (f (k) _ g (k)) = Σ f (k) + Σ g (k)
Σ f (k) + Σ f (k) = Σ f (k)
Σ f (k) = Σ f (k - p)
Dari sifat-sifat notasi sigma di atas, buktikan beberapa contoh soal terkait notasi sigma di bawah ini.
1. Buktikan bahwa Σ (k^2 - (k - 1)^2) = n^2
Penyelesaian:
Ruas kiri:
Σ (k^2 - (k - 1)^2) = Σ (k^2 - (k - 1)(k - 1))
= Σ (k^2 - (k^2 - 2k + 1))
menggunakan sifat nomor 2 dan 1, memperoleh hasil:
= Σ 2k - 1 = 1 Σ k - Σ 1
= 2 ((n (n + 1))/ 2) - n
= n^2 + n - 1
n^2 = ruas kanan.
Jadi, notasi sigma di atas terbukti benar.
2. Tentukan nilai Σ 1 / k (k + 1), untuk k = 1 hingga n!
Penyelesaian:
Diberikan dua alternatif penyelesaian yang bisa dipilih. Berikut uraiannya.
Penyelesaian pertama
Σ 1 / k (k + 1)
= Σ (1/k - 1/(k+1))
= (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + (1/4 + 1/5) + ... + (1/n - 1/(n+1))
= 1 - 1 / (n + 1)
=(n + 1 - 1)/ (n + 1)
= n / (n + 1)
Penyelesaian kedua
Σ 1 / k (k + 1)
= 1/1.2 + 1/2.3 + 1/3.4 + 1/4.5 + ... + 1 / n (n + 1)
= 1/2 + 1/ 6 + 1/12 + 1/20 + ... + 1 / n (n + 1)
Misalkan S1 adalah jumlah 1 suku pertama, S2 adalah jumlah 2 suku pertama, S3 adalah jumlah 3 suku pertama, dan seterusnya. Dengan demikian:
S1 = 1/2
S2 = 1/2 + 1/6 = 4/6 = 2/3
S3 = 1/2 + 1/6 + 1/12 = 9/12 = 3/4
S4 = 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 = 48/60 = 45, ....,
Sn = n/(n + 1)
Jadi, Σ 1 / k (k + 1) = n/(n + 1)
Contoh Soal Notasi Sigma
Agar lebih paham tentang materi notasi sigma, perhatikan beberapa kumpulan soal di bawah ini yang dirangkum dari buku Kumpulan Rumus dan Soal-Soal Matematika karya Budi Pangerti dan Pasti Bisa Matematika untuk SMA/MA Kelas XI oleh Tim Ganesha Operation.
1. Hitunglah nilai dari Σ (k) dari k = 1 hingga 5!
Jawaban:
Σ(k) dari k = 1 hingga 5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
Jadi, hasil perhitungan dari notasi sigma tersebut adalah 15.
2. Hitunglah nilai dari Σ (2k) dari k = 1 hingga 4!
Jawaban:
Σ(2k) dari k = 1 hingga 4 = (21) + (22) + (23) + (24) = 2 + 4 + 6 + 8 = 20
Jadi, hasil perhitungan dari notasi sigma tersebut adalah 20.
3. Hitunglah nilai dari Σ(3^n) dari n = 0 hingga 3!
Jawaban:
Σ(3^n) dari n = 0 hingga 3 = 3^0 + 3^1 + 3^2 + 3^3 = 1 + 3 + 9 + 27 = 40
Jadi, hasil perhitungan dari notasi sigma tersebut adalah 40.
4. Hitunglah nilai dari Σ(2^(n-1)) dari n = 1 hingga 5!
Jawaban:
Σ(2^(n-1)) dari n = 1 hingga 5 = (2^(1-1)) + (2^(2-1)) + (2^(3-1)) + (2^(4-1)) + (2^(5-1)) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31
Jadi, hasil perhitungan dari notasi sigma tersebut adalah 31.
5. Hitunglah nilai dari Σ(1/2^k) dari k = 1 hingga 3!
Jawaban:
Σ(1/2^k) dari k = 1 hingga 3 = (1/2^1) + (1/2^2) + (1/2^3) = 1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8
Jadi, hasil perhitungan dari notasi sigma tersebut adalah 7/8.
6. Hitunglah nilai dari Σ(n^2) dari n = 1 hingga 4!
Jawaban:
Σ(n^2) dari n = 1 hingga 4 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30.
Jadi, hasil perhitungan dari notasi sigma tersebut adalah 30.
7. Hitunglah ∑ (1/k+1 + 1/k), untuk k = 1 hingga k = 6!
Jawaban:
∑ (1/k+1 + 1/k), untuk k = 1 hingga k = 6
= (1/2+1)+(1/3+1/2)+(1/4+1/3)+(1/5+1/4)+(1/6+1/5)+(1/7+1/6)
= 1 + ½ + 1/3 + 1/ 3 + ¼ + ¼ + 1/5 + 1/5 + 1/6 + 1/6 +1/7
= 4 (3/70)
Jadi, hasil perhitungan dari notasi sigma tersebut adalah 4 (3/70).
8. Hitunglah ∑ (k+2)², untuk k = 1 hingga k = 5!
Jawaban:
∑ (k+2)², untuk k = 1 hingga k = 5!
= 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + 7^2
= 135
Jadi, hasil perhitungan dari notasi sigma tersebut adalah 135.
(NSF)