Mengenal Unsur-Unsur Lingkaran dan Rumus-rumusnya

Ilustrasi unsur-unsur lingkaran. Foto: pexels.com/PavelDanilyuk.

Unsur-unsur lingkaran adalah komponen-komponen yang membentuk bangun datar lingkaran. Dalam ilmu matematika, lingkaran adalah kumpulan titik-titik pada garis bidang datar yang semuanya memiliki jarak yang sama dengan titik pusat.

Artikel ini akan membahas lebih lanjut, mulai dari pengertian, unsur-unsur lingkaran, hingga rumus-rumusnya. Simak sampai habis agar pemahaman tentang lingkaran bertambah.

Pengertian Lingkaran

Lingkaran. Foto: Pixabay

Pada kehidupan sehari-hari, bangun datar lingkaran cukup banyak dijumpai, misalnya koin dan piring. Namun, sebenarnya apa itu lingkaran? Bagaimana sebuah bangun datar bisa disebut lingkaran?

Berdasarkan buku Pasar Malam di Kampungku, Matematika Paket B Setara SMP/MTs Kelas VIII terbitan Kemendikbud pada 2018, lingkaran didefinisikan sebagai himpunan titik-titik yang memiliki jarak sama terhadap titik tertentu pada suatu bidang.

Titik tertentu itu yang disebut titik pusat lingkaran, sedangkan jarak antara titik pusat dan himpunan titik-titik adalah jari-jari yang ditulis dengan variabel r.

Baca Juga: Model Matematika: Pengertian, Kegunaan, dan Langkah Pemodelannya

Unsur-Unsur Lingkaran

Ilustrasi unsur unsur lingkaran. Foto: Pexels/Karolina Grabowska

Masih disadur dari buku yang sama, ada sederet unsur unsur lingkaran. Berikut ini penjelasan lebih lengkapnya:

1. Jari-jari

Jari-jari dan diameter lingkaran. Foto: Pasar Malam di Kampungku, Matematika Paket B Setara SMP/MTs Kelas VIII

Pertama, ada jari-jari (r), yaitu ruas garis yang menghubungkan titik pada lingkaran ke pusat lingkaran.

2. Diameter

Kemudian, diameter (d) adalah ruas garis yang menghubungkan satu titik ke titik lain pada lingkaran yang melalui pusat lingkaran. Diameter bisa disebut dengan dua kali jari-jari, sehingga rumus dalam matematika dapat ditulis sebagai berikut:

3. Tali Busur

Tali busur dan busur. Foto: Pasar Malam di Kampungku, Matematika Paket B Setara SMP/MTs Kelas VIII

Tali busur adalah ruas garis yang menghubungkan satu titik ke titik lain pada sebuah lingkaran tanpa melewati pusat lingkaran. Pada gambar di atas, ruas garis KL berwarna hijau adalah tali busur.

4. Busur

Busur merupakan bagian dari lingkaran yang dibatasi dua titik pada lingkaran, berbentuk melengkung. Dalam sebuah lingkaran terdapat dua busur, yaitu busur kecil dan busur besar.

Pada gambar di atas, KL berwarna merah adalah busur kecil dan KL berwarna hitam adalah busur besar.

5. Tembereng

Tembereng. Foto: Pasar Malam di Kampungku, Matematika Paket B Setara SMP/MTs Kelas VIII

Tembereng adalah bangun yang dibatasi busur dan tali busur. Dalam sebuah lingkaran, terdapat dua tembereng, yaitu tembereng kecil dan besar.

Pada gambar di atas, daerah yang diberi warna ungu adalah tembereng kecil, sementara daerah yang diarsir adalah tembereng besar.

6. Juring atau Sektor

Juring atau sektor. Foto: Foto: Pasar Malam di Kampungku, Matematika Paket B Setara SMP/MTs Kelas VIII

Juring, disebut juga sektor, adalah bangun yang dibatasi dua jari-jari dan busur. Pada gambar di atas, terdapat dua juring MNP, yaitu juring besar dan kecil.

Bangun berwarna ungu dengan ukuran kurang dari setengah lingkaran adalah juring kecil. Sementara bangun berwarna oranye dengan ukuran lebih dari setengah lingkaran adalah juring besar.

7. Sudut Pusat

Selanjutnya, sudut pusat merupakan sudut dengan titik sudut di pusat lingkaran dan kaki sudutnya adalah jari-jari lingkaran.

8. Apotema

Apotema. Foto: Pasar Malam di Kampungku, Matematika Paket B Setara SMP/MTs Kelas VIII

Apotema adalah garis dari pusat lingkaran yang tegak lurus dengan tali busur. Apotema bisa juga diartikan jarak pusat ke tali busur. Pada gambar di atas, terlihat PC tegak lurus AB. Sementara itu, PT adalah apotema dan TC adalah anak panah lingkaran.

Rumus-Rumus Lingkaran

Ilustrasi belajar rumus lingkaran. Foto: pexels/Karolina Grabowska

Selanjutnya, akan dibahas rumus-rumus lingkaran yang sering muncul di soal-soal matematika. Berikut penjelasannya:

1. Keliling Lingkaran

Pengertian dari keliling lingkaran adalah panjang total garis lengkung yang dihubungkan dari sebuah titik pada lingkaran hingga menuju titik tersebut lagi.

Diketahui bahwa perbandingan keliling dan diameter lingkaran akan menghasilkan bilangan yang sama, disebut π (dibaca: pi). Berikut ini rumusnya:

Nilai π = 3,14159265358979324836..., adalah pecahan yang tak berulang dan tak berakhir, sehingga bisa disebut bilangan irasional. Sedikit informasi, bilangan irasional adalah bilangan yang tak bisa dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b.

Namun, dalam pelajaran matematika, untuk mempermudah perhitungan luas dan keliling lingkaran, nilai π bisa juga menggunakan 22/7. Nilai π yang menggunakan 22/7 umumnya untuk menghitung luas atau keliling lingkaran apabila jari-jarinya kelipatan 7.

Sementara itu, untuk menghitung keliling lingkaran apabila jari-jarinya bukan kelipatan 7, bisa menggunakan nilai π = 3,14. Untuk lebih jelasnya, simak contoh soal matematika berikut ini!

Contoh Soal 1

Diberikan lingkaran dengan jari-jari 35 cm, berapa kelilingnya?

Diketahui: r = 35 cm.

Ditanya: K = ?

Dijawab:

K = 2 πr

= 2 (22/7) 35

= 220

Jadi, keliling lingkaran tersebut adalah 220 cm.

Contoh Soal 2

Diberikan lingkaran dengan jari-jari 30 cm, berapa kelilingnya?

Diketahui: r = 30 cm.

Ditanya: K = ?

Dijawab:

K = 2 πr

= 2 x 3,14 x 30

= 188,4 cm

Jadi, keliling lingkaran tersebut adalah 188,4 cm.

2. Luas Lingkaran

Luas lingkaran adalah bidang yang dilingkupi kurva melengkung berbentuk lingkaran. Untuk menemukan rumus lingkaran, bisa dengan membagi sebuah bangun lingkaran menjadi 16 juring.

Kemudian, juring-juring tersebut dipotong dan dirangkai menjadi menara membentuk bangun segitiga sama kaki. Dari percobaan tersebut, diketahui panjang alas segitiga sama kaki sama dengan seperempat keliling lingkaran dan tingginya setara dengan empat jari-jari lingkaran.

Sehingga, rumus matematikanya bisa dijabarkan sebagai berikut:

Karena alas segitiga sama dengan seperempat keliling lingkaran = 1/4 x 2πr = 1/2 πr, dan tinggi lingkaran sama dengan empat jari-jari = 4r, maka:

Karena diameter sama dengan dua kali jari-jari (d = 2r), rumus luas lingkaran bisa juga ditulis dengan:

Berikut ini beberapa contoh soal mencari luas lingkaran untuk menambah pemahaman materi ini:

Contoh Soal 1

Diberikan sebuah lingkaran dengan jari-jari 14 cm, berapa luasnya?

Diketahui: r = 14 cm.

Ditanya: L = ?

Dijawab:

L = πr^2

=22/7 x 14^2

= 616

Jadi, luas lingkarannya adalah 616 cm persegi.

Contoh Soal 2

Diberikan sebuah lingkaran dengan jari-jari 20 cm, berapa luasnya?

Diketahui: r = 20 cm.

Ditanya: L = ?

Dijawab:

L = πr^2

= 3,14 x 20 ^20

= 1.256

Jadi, luas lingkarannya adalah 1.256 cm persegi.

3. Hubungan Sudut Pusat, Busur, dan Juring

Rumus perbandingan dua sudut pusat sama dengan perbandingan dua busur sama dengan perbandingan juring. Secara matematika, rumusnya bisa ditulis sebagai berikut:

Untuk lebih jelasnya bisa menyimak contoh soal berikut ini:

Contoh Soal 1

Perhatikan gambar di bawah ini, apabila diketahui sudut pusat dengan dua titik yang membentuk busur adalah 120 derajat. Jika, diketahui jari-jarinya 4 cm, berapa panjang busurnya?

Soal mencari panjang juring pada lingkaran. Foto: Pasar Malam di Kampungku, Matematika Paket B Setara SMP/MTs Kelas VIII

Diketahui:

Ditanya: panjang busur AB = ?

Dijawab:

Melalui sudut perbandingan yang sudah dibagikan di atas, pada soal ini digunakan perbandingan dengan keliling lingkaran. Adapun rumusnya adalah sebagai berikut:

Sudut busur AB/sudut lingkaran = panjang busur AB/keliling lingkaran

Panjang busur AB = 120/360 x 2πr

= 1/3 x 2 x 3,14 x 4

= 8,37

Jadi, panjang busur AB adalah 8,37 cm.

Contoh Soal 2

Diberikan empat lingkaran masing-masing jari-jari 70 cm yang ditata seperti gambar di bawah. Berapa luas daerah yang diarsir?

Soal mencari luas yang diarsir. Foto: Pasar Malam di Kampungku, Matematika Paket B Setara SMP/MTs Kelas VIII

Diketahui: r = 70 cm.

Ditanya: luas yang diarsir.

Dijawab:

Diketahui bahwa daerah yang diarsir memiliki panjang dua jari-jari = 2r = 140 cm dengan bentuk persegi dikurangi seperempat lingkaran berjumlah empat. Sementara itu, terdapat juring dengan sudut pusat 90 derajat.

Sehingga, penyelesaiannya adalah luas persegi dikurangi empat luas juring. Juringnya berbentuk seperempat lingkaran dan berjumlah empat buah, sama dengan satu buah lingkaran. Maka, penyelesaiannya sebagai berikut:

Luas daerah yang diarsir = Luas persegi - luas lingkaran

= (s^2) - (πr^2)

= (140^2) - (22/7 x 70^2)

= 19.600 - 15.400

= 4.200

Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 4.200 cm persegi.

(NSF)