Pengertian Rumus Dilatasi dan Contoh Soalnya

Ilustrasi pengertian rumus dilatasi. Unsplash.com/Antoine-Dautry

Pengertian rumus dilatasi adalah transformasi geometri yang mengubah ukuran suatu bangun tanpa mengubah bentuknya. Dalam dilatasi, setiap titik pada bangun dipindahkan sepanjang garis yang menghubungkan titik tersebut dengan titik pusat dilatasi.

Titik tersebut diukur dengan jarak yang diperbesar atau diperkecil menurut faktor skala (k). Jika k > 1, bangun diperbesar; jika 0 < k < 1, bangun diperkecil; jika k = 1, tidak ada perubahan ukuran; jika k negatif, bangun mengalami pembalikan selain dilatasi.

Pengertian Rumus Dilatasi

Ilustrasi pengertian rumus dilatasi. Unsplash.com/ThisisEngineering

Dikutip dari repositori.kemdikbud.go.id, Modul Fisika Kelas XII KD 3.7, M Minardi, 2020, pengertian rumus dilatasi adalah jika suatu titik di dilatasi terhadap pusat dengan faktor skala k, maka titik hasil dilatasi diberikan oleh:

x' = a + k(x - a)

y' = b + k(y - b)

Penjelasannya:

(x1 y1) adalah koordinat titik setelah dilatasi.

(x y) adalah koordinat titik sebelum dilatasi.

(a b) adalah koordinat pusat dilatasi.

k adalah faktor skala dilatasi.

Jika pusat dilatasi adalah titik asal (0, 0), maka rumusnya menjadi lebih sederhana:

x' = kx

y' = ky

Dilatasi mempertahankan bentuk bangun tetapi mengubah ukuran sesuai faktor skala.

Jenis-jenis Dilatasi dan Pembahasannya

Ilustrasi pengertian rumus dilatasi. Unsplash.com/JESHOOTS.COM

Dilatasi adalah salah satu transformasi geometri yang digunakan untuk memperbesar atau memperkecil suatu bangun geometri dengan faktor skala tertentu, tanpa mengubah bentuk asli bangun tersebut.

Dalam dilatasi, setiap titik dari suatu bangun diperbesar atau diperkecil dengan jarak yang proporsional dari titik pusat dilatasi. Artikel ini akan membahas rumus dilatasi secara rinci, jenis-jenis dilatasi, dan beberapa contoh soal dilatasi beserta pembahasannya.

Dilatasi juga merupakan transformasi geometri yang mengubah ukuran suatu bangun, namun bentuknya tetap dipertahankan. Dilatasi terjadi dengan menggunakan titik pusat dilatasi dan faktor skala (disebut juga faktor dilatasi).

Transformasi ini penting dalam geometri karena sering digunakan untuk membandingkan bentuk-bentuk yang serupa namun berbeda ukuran.

Dilatasi dapat dibedakan berdasarkan faktor skala (k) dan pusat dilatasi. Berikut adalah jenis-jenis dilatasi yang lengkap:

1. Berdasarkan Faktor Skala (k)

a. Dilatasi Perbesaran:

Terjadi jika faktor skala (k) > 1.

Bangun diperbesar dari ukuran aslinya, namun bentuk tetap sama.

Contoh: Jika , panjang sisi bangun menjadi dua kali lipat.

b. Dilatasi Pengecilan:

Terjadi jika 0 < k < 1.

Bangun diperkecil dari ukuran aslinya, tetapi bentuknya tetap sama.

Contoh: Jika , panjang sisi bangun menjadi setengah dari ukuran aslinya.

c. Dilatasi Isometri (Tidak Ada Perubahan Ukuran):

Terjadi jika k = 1.

Bangun tidak berubah ukuran dan posisi, sehingga bangun asli dan bangun hasil dilatasi adalah sama.

d. Dilatasi dengan Pembalikan:

Terjadi jika k < 0 (nilai negatif).

Selain memperbesar atau memperkecil bangun, dilatasi juga membalik bangun terhadap pusat dilatasi, seperti menghasilkan gambar cermin.

Contoh: Jika , bangun diperbesar dua kali lipat dan dibalik terhadap pusat dilatasi.

2. Berdasarkan Pusat Dilatasi

a. Dilatasi Berpusat di Asal (0, 0):

Pusat dilatasi berada di titik asal koordinat (0,0).

Rumus dilatasinya menjadi lebih sederhana:

x' = kx

y' = ky

b. Dilatasi Berpusat di Titik Lain (a, b):

Pusat dilatasi tidak berada di titik asal, melainkan di suatu titik .

Rumus dilatasinya lebih umum:

x' = a + k(x - a)

y' = b + k(y - b)

Bangun diperbesar, diperkecil, atau dibalik dari titik pusat tersebut.

3. Berdasarkan Dimensi

a. Dilatasi pada Bangun 2D:

Dilatasi ini terjadi pada bangun datar seperti persegi, lingkaran, segitiga, dan lain-lain.

Setiap titik pada bangun bergerak searah garis yang menghubungkan titik tersebut dengan pusat dilatasi.

b. Dilatasi pada Bangun 3D:

Dilatasi ini diterapkan pada bangun ruang seperti kubus, balok, bola, dan lain-lain.

Semua titik pada bangun bergerak menuju atau menjauhi pusat dilatasi dalam ruang tiga dimensi.

Contoh-contoh Soal Dilatasi

Ilustrasi pengertian rumus dilatasi. Unsplash.com/Greg-Rosenke

Dengan berbagai jenis dilatasi ini, transformasi dapat dilakukan sesuai dengan kebutuhan untuk memperbesar, memperkecil, atau membalik bangun geometris dalam berbagai konteks.

1. Contoh Soal Dilatasi 1

Titik A (2,3) didilatasi dengan pusat dilatasi di titik O (1,2) dan faktor skala k= 3. Tentukan koordinat titik A’ setelah dilatasi.

Pembahasan:

Diketahui:

Titik awal A (2,3)

Pusat dilatasi O (1,2)

Faktor skala k= 3

Rumus dilatasi untuk koordinat titik dengan pusat dan faktor skala adalah:

x' = a + k(x - a)

y' = b + k(y - b)

Substitusi nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumus:

a = 1, b = 2

x = 2, y = 3

k = 3

Hitung :

x' = 1 + 3(2 - 1) = 1 + 3(1) = 1 + 3 = 4

Hitung :

y' = 2 + 3(3 - 2) = 2 + 3(1) = 2 + 3 = 5

Jadi, koordinat titik hasil dilatasi adalah A’ (4,5).

Kunci Jawaban:

Koordinat titik A’ setelah dilatasi adalah A’ (4,5).

2. Contoh Soal Dilatasi 2

Contoh Soal Dilatasi:

Titik B (-4,6) didilatasi dengan pusat di titik asal O (0,0) dan faktor skala k = -2 . Tentukan koordinat titik B’ setelah dilatasi.

Pembahasan:

Diketahui:

Titik awal B (-4,6)

Pusat dilatasi di titik asal O (0,0)

Faktor skala k = -2

Rumus dilatasi untuk pusat di titik asal dan faktor skala adalah:

x' = kx

y' = ky

Substitusi nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumus:

x = -4, y = 7

k = -2,

Hitung x1 :

x' = (-2)(-4) = 8

Hitung y1 :

y' = (-2)(6) = -12

Jadi, koordinat titik hasil dilatasi B’ adalah (8, -12) .

Kunci Jawaban:

Koordinat titik B’ setelah dilatasi adalah B (8, -12).

3. Contoh Soal Dilatasi 3

Contoh Soal Cerita:

Seorang arsitek sedang merancang replika miniatur sebuah bangunan. Bangunan aslinya memiliki sudut koordinat di A (6,4), B (10, 4), dan C (10,8). Untuk membuat miniatur, bangunan tersebut akan didilatasi dengan pusat di titik asal O (0,0) dan faktor skala k = 1/3. Tentukan koordinat titik-titik sudut A’, B’, dan C’ setelah dilatasi.

Pembahasan:

Diketahui:

Pusat dilatasi di titik asal O (0,0)

Faktor skala k = 1/3

Koordinat sudut bangunan asli: A (6,4), B (10,4), C (10,8)

Rumus dilatasi dengan pusat di titik asal adalah:

x' = kx

y' = ky

Untuk titik A (6,4):

x'_A = ⅓ x 6 = 2

y'_A = ⅓ x 4 = 4/3 = 1.33

Jadi, koordinat titik A’ adalah (2, 1.33).

Untuk titik B (10,4):

x'_B = ⅓ x 10 = 10/3 = 3.33

y'_B = ⅓ x 4 = 4/3 = 1.33 Jadi, koordinat titik B’ adalah (3.33, 1.33).

Untuk titik C (10, 8):

x'_C = ⅓ x 10 = 10/3 = 3.33

y'_C = ⅓ x 8 = 8/3 = 2.67 Jadi, koordinat titik C’ adalah (3.33, 2.67).

Kunci Jawaban:

Koordinat titik-titik sudut bangunan setelah dilatasi adalah:

A’ (2, 1.33)

B’ (3.33, 1.33)

C’ (3.33, 2.67)

Mempelajari rumus dilatasi memiliki banyak manfaat, terutama dalam bidang matematika dan geometri. Pertama, dilatasi membantu dalam memahami konsep perubahan ukuran bangun geometris tanpa mengubah bentuknya, yang penting dalam desain arsitektur dan teknik.

Kedua, dilatasi digunakan dalam grafik komputer dan animasi untuk menskalakan objek secara proporsional. Ketiga, pemahaman tentang dilatasi mendukung analisis proporsional dalam ilmu fisika dan biologi.

Selain itu, dilatasi juga memiliki aplikasi dalam pendidikan, membantu siswa memahami transformasi dan hubungan antara ukuran dan bentuk dalam ruang. Dengan demikian, keterampilan ini sangat berguna di berbagai disiplin ilmu.

Dilatasi sebagai transformasi geometri yang mengubah ukuran suatu bangun tanpa mengubah bentuknya. Proses ini melibatkan faktor skala dan titik pusat dilatasi, di mana hasil akhirnya tergantung pada nilai faktor skala.

Jika faktor skala lebih besar dari 1, bangun diperbesar, sedangkan jika faktor skala antara 0 dan 1, bangun diperkecil. Apabila faktor skala negatif, bangun akan mengalami inversi.

Menguasai rumus dilatasi dan memahami cara penerapannya sangat berguna dalam mempelajari transformasi geometri dan berbagai aplikasinya.

Dengan banyak berlatih contoh soal, siswa dapat menguasai konsep ini dengan lebih baik dan menerapkannya pada berbagai situasi geometri.

Demikian pembahasan lengkap tentang pengertian rumus dilatasi dan contoh-contoh soalnya. Dengan memahaminya, hal ini dapat diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari.(Zen)

Baca juga: Rumus Prisma, Pengertian, dan Contoh Soalnya