Program Linear: Pengertian, Model Matematika, dan Contoh Soalnya
Menyajikan beragam informasi terbaru, terkini dan mengedukasi.
·waktu baca 5 menit
Tulisan dari Kabar Harian tidak mewakili pandangan dari redaksi kumparan
PerbesarProgram linear adalah suatu metode matematika yang digunakan untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan optimasi linear (nilai maksimum dan nilai minimum).
Permasalahan yang berhubungan dengan program linear selalu berhubungan dengan fungsi objektif (fungsi tujuan) berdasarkan kondisi-kondisi yang membatasinya. Dalam hal ini, optimasinya berupa memaksimalkan atau meminimalkan fungsi objektif.
Dikutip dari Matematika Kelas XII Jilid 3A oleh Marthen Kanginan, program linear biasanya berbentuk sistem pertidaksamaan linear. Sistem pertidaksamaan linear menggunakan tanda ketidaksamaan berupa (<), (>), (≤), (≥).
Artikel ini akan membahas lebih jauh mengenai program linear, penerapan, dan contoh soalnya.
Mengenal Program Linear
Dikutip dari Kompetensi Matematika 3 oleh Johanes, program linear merupakan bagian dari matematika yang berbentuk model, yang terdiri dari pertidaksamaan linear sebagai salah satu metode untuk memecahkan berbagai persoalan dalam kehidupan sehari-hari.
Secara umum, program linear terdiri dari dua bagian, yaitu fungsi objektif (fungsi tujuan) dan fungsi kendala.
1. Fungsi Objektif (Fungsi Tujuan)
Fungsi objektif adalah fungsi yang nilainya akan dioptimalkan. Fungsi objektif bisa bernilai maksimum atau minimum. Hal ini tergantung pada kasusnya.
Jika fungsi objektif biaya produksi, nilainya dicari yang minimum. Namun, kalau fungsi objektif berupa keuntungan, nilainya dicari yang maksimum.
Bentuk umum fungsi tujuan adalah maksimum atau minimum f(x, y) = px + qy, dengan p dan q adalah konstanta.
2. Fungsi Kendala
Fungsi kendala adalah batasan-batasan yang harus dipenuhi oleh peubah yang terdapat dalam fungsi objektif. Bentuk umum dari fungsi kendala adalah sebagai berikut.
ax + by ≤ m atau ax + by ≥ m
cx + dy ≤ n atau cx + dy ≥ n
x ≥ 0 ; y ≥ o atau x ≥ 0 ; y ≥ o
Berikut karakteristik program linear.
Program linear dapat mengatasi permasalahan dengan kendala-kendalanya dalam bentuk pertidaksamaan.
Program linear dapat mengatasi jumlah kendala yang banyak.
Program linear hanya terbatas pada fungsi objektif dan kendala linear.
Penerapan Program Linear dengan Model Matematika
Beberapa masalah mengoptimalkan yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari dapat diselesaikan menggunakan program linear, dengan kendala atau batasan-batasan yang harus diterjemahkan ke dalam sistem pertidaksamaan linear.
Untuk menerjemahkannya digunakan model matematika, yakni uraian secara matematika (sering kali menggunakan fungsi atau persamaan) dari fenomena dunia nyata.
Langkah-langkah menuliskan persoalan sehari-hari ke dalam model matematika adalah sebagai berikut.
Tuliskan ketentuan-ketentuan yang ada ke dalam sebuah tabel.
Buat permisalan untuk objek-objek yang belum diketahui dalam bentuk variabel x dan y.
Buat sistem pertidaksamaan linear dari hal-hal yang sudah diketahui.
Tentukan fungsi objektif.
Selesaikan model matematika tersebut untuk mendapatkan nilai optimum dari fungsi objektif.
Model matematika terdiri atas dua bagian, yaitu:
Fungsi objektif, yakni f(x, y) = px + qy
Syarat atau batasan yang berisikan kendala-kendala yang harus dipenuhi oleh variabel x dan y
Nilai optimum fungsi objektif adalah nilai maksimum atau minimum fungsi objektif sebagai hasil dari substitusi titik-titik ekstrem terhadap fungsi linear f(x, y) = px + qy, penjabarannya sebagai berikut.
1. Nilai Maksimum Fungsi Objektif
Nilai maksimum f(x, y) = px + qy dengan kendala:
ax + by ≤ m
cx + dy ≤ n
x ≥ 0 ; y ≥ o
2. Nilai Minimum Fungsi Objektif
Nilai minimum f(x, y) = px + qy dengan kendala:
ax + by ≥ m
cx + dy ≥ n
x ≥ 0 ; y ≥ o
Baca Juga: Daerah Layak Program Linier: Pengertian, Penerapan, dan Contoh Soalnya
Contoh Soal Model Matematika
Berikut contoh soal matematika mengenai masalah optimasi nilai maksimum pada model matematika.
Seorang penjahit pakaian mempunyai persediaan 16 meter kain sutera, 15 meter katun, dan 11 meter kain wool yang akan dibuat dua model pakaian dengan perincian sebagai berikut.
Model A membutuhkan 2 m sutera, 1 m wool, dan 1 m katun per unit.
Model B membutuhkan 1 m suteral, 2 m wool, dan 3 m katun per unit.
Keuntungan pakaian model A Rp3.000,00 per unit dan keuntungan pakaian model B Rp5.000,00 per unit.
Tentukan berapa banyak masing-masing pakaian harus dibuat agar didapat keuntungan yang sebesar-besarnya.
Jawab:
Permasalahan di atas dapat disajikan dalam tabel berikut.
Misalnya, jumlah model A yang dibuat adalah x unit, dan jumlah model B yang dibuat adalah y unit.
Permasalahan ini merupakan maksimalisasi keuntungan, yaitu:
f(x, y) = 3.000x + 5.000y
dengan kendala:
2x + y ≤ 16
x + 2y ≤ 11
x + 3y ≤ 15
x ≥ 0; y ≥ 0
Daerah penyelesaian dari kendala permasalahan tersebut ditunjukkan oleh gambar berikut.
Dari gambar di atas, diperoleh titik-titik ekstremnya adalah:
A(8, 0) titik potong garis 2x + y = 16 dengan sumbu X
B(7, 2) titik potong garis 2x + y = 16 dengan garis x + 2y = 11
C(3, 4) titik potong garis x + 2y = 11 dengan garis x + 3y = 15
D(0, 5) titik potong garis x + 3y = 15 dengan sumbu Y
Lakukan pengujian titik-titik ekstrem tersebut pada fungsi objektif f(x, y) = 3.000x + 5.000y dan diperoleh:
f(A) = f(8, 0) = 3.000(8) + 5.000(0) = 24.000
f(B) = f(7, 2) = 3.000(7) + 5.000(2) = 31.000
f(C) = f(3, 4) = 3.000(3) + 5.000(4) = 29.000
f(D) = f(0, 5) = 3.000(0) + 5.000(5) = 25.000
Dari hasil substitusi titik ekstrem tersebut, diperoleh bahwa keuntungan maksimum adalah Rp31.000,00, yaitu dengan membuat 7 unit model pakaian A dan 2 unit model pakaian B.
(SFR)
Frequently Asked Question Section
Apa saja jenis program linear?
Apa saja jenis program linear?
Secara umum, program linear terdiri dari dua bagian, yaitu fungsi objektif (fungsi tujuan) dan fungsi kendala.
Apa maksudnya fungsi objektif program linear?
Apa maksudnya fungsi objektif program linear?
Fungsi objektif adalah fungsi yang nilainya akan dioptimalkan. Fungsi objektif bisa bernilai maksimum atau minimum.
Apa maksudnya fungsi kendala program linear?
Apa maksudnya fungsi kendala program linear?
Fungsi kendala adalah batasan-batasan yang harus dipenuhi oleh peubah yang terdapat dalam fungsi objektif.