Rumus Baris Geometri, Pengertian, dan Contoh Soalnya
Menyajikan beragam informasi terbaru, terkini dan mengedukasi.
·waktu baca 7 menit
Tulisan dari Kabar Harian tidak mewakili pandangan dari redaksi kumparan
PerbesarBarisan geometri adalah salah satu materi penting dalam pelajaran matematika. Untuk memahami lebih jauh tentang pola perubahan pada barisan geometri, kita dapat menggunakan rumus barisan geometri.
Berbeda dengan barisan aritmatika, barisan geometri memiliki rasio tetap. Sehingga, dapat memungkinkan kita untuk membandingkan pertumbuhan atau penurunan nilai secara eksponensial yang sering dijumpai dalam berbagai fenomena alam dan kehidupan sehari-hari.
Daftar isi
Daftar isi
Daftar isi
Pengertian Barisan Geometri
Dikutip dari buku Think Smart Matematika untuk Kelas XII Ssekolah Menengah Atas, Gina Indriani, (2007), pengertian barisan geometri merupakan barisan bilangan yang memiliki perbandingan yang selalu sama antara dua suku berurutan.
Pada barisan geometri, suatu urutan bilangan yang memiliki pola tertentu, di mana setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang disebut rasio dan dinotasikan dengan r.
Adapun contoh barisan bilangan yang termasuk ke dalam barisan geometri adalah 2, 4, 8, 16. Contoh barisan bilangan tersebut jika menggunakan barisan aritmatika, maka tidak akan bisa diselesaikan dan mendapatkan polanya.
Ciri-ciri Barisan Geometri:
Perbandingan antara dua suku berurutan selalu konstan, jika kita membagi suatu suku dengan suku sebelumnya, hasilnya akan selalu sama. Perbandingan tetap ini disebut rasio (r).
Setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan rasio (r): Ini adalah cara kita mendapatkan suku berikutnya dalam barisan geometri. Misalnya, jika suku pertama adalah a dan rasionya r, maka suku kedua adalah a * r, suku ketiga adalah a * r^2, dan seterusnya.
Rasio (r) dapat bernilai positif atau negatif: Jika r positif, maka semua suku dalam barisan akan memiliki tanda yang sama dengan suku pertama.
Jika r negatif, maka tanda suku-suku akan bergantian positif dan negatif.
Jika |r| > 1, barisan akan tumbuh sangat cepat (meledak).
Jika |r| = 1, semua suku dalam barisan akan sama.
Jika 0 < |r| < 1, barisan akan menyusut (mendekati nol).
Jika r = 0, semua suku setelah suku pertama akan bernilai nol.
Grafik barisan geometri: Jika kita gambarkan barisan geometri pada diagram kartesius, titik-titik yang mewakili suku-suku akan membentuk kurva eksponensial.
Unsur-unsur Barisan Geometri
Suku pertama (a): Bilangan pertama dalam barisan.
Rasio (r): Bilangan tetap yang digunakan untuk mengalikan setiap suku.
Suku ke-n (Un): Suku yang terletak pada urutan ke-n dalam barisan.
Rumus Baris Geometri
Pada suatu barisan geometri dalam matematika U1, U2, U3, .., Un dengan U1 adalah a dan rasio r, maka rumus baris geometri dapat ditulis dengan berikut.
U1 = a
U2 = U1.r = a.r = a.r^(2-1)
U3 = U2.r = (a.r)r = a.r^2= a.r^(3 – 1)
Un = a.r^(n-1)
Jadi, rumus barisan geometri adalah:
Un = a.r^(n-1).
Keterangan:
Un = Suku ke-n
a = Suku pertama
r = Rasio
n = banyaknya suku dalam barisan bilangan
Sn= jumlah suku ke n
Sn-1 = jumlah suku ke- (n-1)
Rumus tersebut digunakan untuk mencari nilai suku ke-n secara langsung, dengan mengetahui suku pertama (a), rasio (r), dan nomor suku (n).
Sedangkan, untuk rumus yang digunakan untuk mencari total penjumlahan n suku pertama dari suatu barisan geometri adalah sebagai berikut:
Sn = a* (1 - r^n) / (1 - r), jika r ≠ 1
Rumus ini digunakan untuk mencari jumlah n suku pertama dari suatu barisan geometri.
Sn = n*a, jika r = 1
Jika rasionya sama dengan 1, maka semua suku dalam barisan akan sama dengan suku pertama. Jadi, jumlah n suku pertama cukup dihitung dengan mengalikan suku pertama dengan jumlah sukunya.
Contoh Soal Barisan Geometri
Setelah memahami pengertian dan rumus baris geometri, inilah beberapa contoh soal barisan geometri dan jawabannya.
Contoh 1
Diketahui barisan geometri 3, 6, 12, ... Tentukan suku ke-5 dari barisan tersebut.
Menentukan suku ke-5:
Diketahui:
Un = a * r^(n-1)
di mana:
a = 3
r = 2
n = 5
Maka, U5 = 3 * 2^(5-1) = 3 * 2^4 = 3 * 16 = 48
Jadi, suku ke-5 adalah 48.
Contoh 2
Diketahui suku pertama suatu barisan geometri adalah 5 dan rasionya adalah 1/2. Tentukan 3 suku pertama barisan tersebut.
Diketahui:
Suku pertama (a) = 5
Rasio (r) = 1/2
Penyelesaian:
Kita sudah mengetahui suku pertama. Untuk mencari suku-suku berikutnya, kita tinggal mengalikan suku sebelumnya dengan rasio.
Suku pertama: 5
Suku kedua: 5 * (1/2) = 2,5
Suku ketiga: 2,5 * (1/2) = 1,25
Jadi, tiga suku pertama barisan geometri tersebut adalah 5, 2,5, dan 1,25.
Contoh 3
Diketahui suku pertama suatu barisan geometri adalah 3 dan rasionya adalah 1/3. Tentukan 3 suku pertama.
Diketahui:
Suku pertama (a) = 3
Rasio (r) = 1/3
Penyelesaian:
Suku pertama: 3
Suku kedua: 3 * (1/3) = 1
Suku ketiga: 1 * (1/3) = 1/3
Jadi, tiga suku pertama barisan geometri tersebut adalah 3, 1, dan 1/3.
Contoh 4
Dalam suatu barisan geometri, diketahui suku ke-3 adalah 27 dan suku ke-5 adalah 243. Tentukan suku pertama.
Diketahui:
Suku ke-3 (U₃) = 27
Suku ke-5 (U₅) = 243
Penyelesaian:
U₃ = a * r²
Artinya, 27 = a * r²
U₅ = a * r⁴
Artinya, 243 = a * r⁴
Langkah selanjutnya:
(a * r⁴) / (a * r²) = 243 / 27
r² = 9
Dari sini, kita dapat menemukan dua kemungkinan nilai untuk r:
r = 3
r = -3
Mencari nilai a:
Kita akan substitusikan nilai r yang kita temukan ke salah satu persamaan awal. Misalnya, kita gunakan persamaan U₃ = a * r².
Jika r = 3:
27 = a * 3²
27 = 9a
a = 3
Jika r = -3:
27 = a * (-3)²
27 = 9a
a = 3
Jadi, suku pertama (a) adalah 3.
Contoh 5
Diketahui barisan geometri 1/2, 1/4, 1/8, ... Tentukan suku ke-10.
Diketahui:
Suku pertama (a) = 1/2
Rasio (r) = (1/4) / (1/2) = 1/2
Ditanya:
Suku ke-10 (U₁₀)
Penyelesaian:
Un = a * r^(n-1)
Dalam soal ini, kita ingin mencari U₁₀, sehingga:
n = 10
U₁₀ = (1/2) * (1/2)^(10-1)
U₁₀ = (1/2) * (1/2)^9
U₁₀ = (1/2)^10
Jadi, suku ke-10 dari barisan geometri tersebut adalah (1/2)^10.
Contoh 6
Suatu bakteri membelah diri menjadi dua setiap 20 menit. Jika mula-mula ada 1 bakteri, berapa banyak bakteri setelah 2 jam?
Penyelesaian:
2 jam = 120 menit
Setiap 20 menit bakteri membelah sekali. Jadi, dalam 120 menit, bakteri membelah sebanyak 120 menit / 20 menit/pembelahan = 6 kali.
Suku pertama (a) = 1 bakteri
Rasio (r) = 2 (karena jumlah bakteri menjadi dua kali lipat setiap kali membelah)
Banyaknya pembelahan (n) = 6
Un = a * r^(n-1)
U₆ = 1 * 2^(6-1) = 1 * 2^5 = 32
Jadi, setelah 2 jam, akan ada 32 bakteri.
Contoh 7
Diketahui barisan geometri 3, -6, 12, ... Tentukan jumlah 5 suku pertama.
Diketahui:
Suku pertama (a) = 3
Rasio (r) = (-6) / 3 = -2
Penyelesaian:
Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)
n = 5
S₅ = 3 * (1 - (-2)^5) / (1 - (-2))
S₅ = 3 * (1 - (-32)) / 3
S₅ = 3 * 33 / 3
S₅ = 33
Jadi, jumlah 5 suku pertama dari barisan geometri tersebut adalah 33.
Contoh 8
Suatu mobil dibeli dengan harga Rp 200.000.000,00. Setiap tahun nilainya menyusut 10%. Tentukan harga mobil setelah 3 tahun. Jika setiap tahun menyusut 10%, maka setiap tahun nilai mobil menjadi 90% dari nilai sebelumnya. Jadi, rasio penyusutan (r) = 90% = 0,9.
Penyelesaian:
Un = a * r^(n-1)
U₄ = 200.000.000 * 0,9^(4-1)
U₄ = 200.000.000 * 0,9³
U₄ = 200.000.000 * 0,729
U₄ = Rp 145.800.000
Jadi, harga mobil setelah 3 tahun adalah Rp 145.800.000.
Itulah informasi mengenai rumus baris geometri, pengertian, dan contoh soalnya. (LA)
Baca Juga: Rumus Luas Belah Ketupat dalam Matematika dan Contoh Soalnya