Rumus Barisan Geometri dan Contoh Soalnya dalam Matematika

Ilustrasi Rumus Barisan Geometri. Foto: Unsplash/Bozhin Karaivanov

Barisan geometri merupakan salah satu konsep fundamental dalam Matematika yang memiliki aplikasi luas dalam berbagai bidang. Setiap siswa wajib memahami materi ini termasuk rumus barisan geometri.

Barisan geometri dapat dipahami dengan cara mengerjakan latihan soal. Dengan mengerjakan latihan soal barisan geometri maka akan semakin memahami pola barisan geometri.

Pengertian dan Rumus Barisan Geometri

Ilustrasi Rumus Barisan Geometri. Foto: Unsplash/Annie Spratt

Mengutip buku Think Smart Matematika untuk Kelas XII Sekolah Menengah Atas, Gina Indriani (2007: 69), barisan geometri adalah barisan bilangan yang memiliki perbandingan yang selalu sama antara dua suku berurutan.

Sebuah barisan yang disebut barisan geometri apabila perbandingkan dua suku yang berurutan selalu sama. Hasil perbandingan dua suku yang berurutan dalam barisan geometri disebut rasio (r).

Suku pertama dalam barisan geometri disebut a dan rasionya diberi simbol r. Maka dari itu, barisan geometri umumnya berupa a, ar, ar2, ar3, … arn.

Pada barisan tersebut kemudian diperoleh:

Dari penjelasan tersebut, maka bisa diketahui bahwa rumus barisan geometri, seperti berikut:

Un = arn-1

Keterangan:

Contoh Soal Barisan Geometri dan Pembahasannya

Ilustrasi Rumus Barisan Geometri. Foto: Unsplash/Bozhin Karaivanov

Berikut adalah contoh soal beserta pembahasannya yang bisa dijadikan pembelajaran siswa.

Soal 1

Diberikan suatu barisan 3, 9, 27, 81... Diketahui barisan tersebut merupakan barisan geometri. Tentukan suku ke-5 dari barisan tersebut.

Jawaban:

Seperti yang diketahui, barisan geometri memiliki rasio konstan antara dua suku berurutan. Oleh karena itu, cari rasio dari barisan tersebut lebih dulu.

r = u2/ u1 = 9/3

= 3

Setelah mengetahui bahwa rasio tersebut adalah 3 maka masukkan dalam rumus suku ke-n

U5 = 3 x 3 (5-1)

= 3 x 3(4)

= 3 x 81

= 243

Jadi, suku ke-5 dari barisan geometri tersebut adalah 243

Soal 2

Diberikan barisan geometri pecahan sebagai berikut : 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,..... Tentukan suku ke-6 dalam barisan tersebut.

Jawaban:

Dalam barisan geometri dengan angka pecahan, dapat menggunakan rumus umum barisan geometri untuk mencari suku ke-n. Rumus tersebut tetap berlaku, hanya saja harus memahami bagaimana mengaplikasikannya pada angka pecahan.

Diketahui:

a1 = ½ dan a2 = 1/4

Maka rasio barisan tersebut adalah 1/4 : 1/2 = ½

Sekarang bisa menggunakan rumus ini untuk mencari suku ke-6 setelah mengetahui bahwa rasio barisan tersebut adalah 1/2.

U6 = 1/2 x (½ (6-1))

U6 = 1/2 x (½ (5))

U6 = 1/2 x 1/32

U6 = 1/64

Jadi, suku ke-6 dalam barisan geometri tersebut adalah 1/64

Soal 3

Tentukan suku kedelapan dari barisan geometri 1, 3, 9, 27......

Jawaban:

Diketahui suku pertama U1 = 1 dan suku kedua U2 = 3

Rasio: r = U2/U1 = 3/1 = 3

Rumus suku ke-N: Un = ar ^n-1

Sehingga U8 = 1 . 3^8-1 = 3^7 = 2187

Jadi, suku kedelapan dari barisan geometri 2, 1, 1/2, 1/4......

Soal 4

Tuliskan rumus suku ke-n dari barisan geometri 2, 1, 1/2, 1/4....

Jawaban:

Diketahui:

Suku pertama: U1 = 2

Suku kedua: U2 = 1

Nilai rasio: r = U2/U1 = 1/2

Rumus suku ke-n: Un = ar^n-1

Dengen mensubstitusikan nilai a = 2 dan r = 1/2 ke Un = ar^n-1 maka diperoleh:

Un = 2 . (1/2)^n-1 = 2 . (1/2) . (1/2)^n-2 = (1/2) ^n-2

Jadi, suku ke-n barisan geometri adalah Un = (1/2)^n-2

Soal 5

Berikut ini adalah barisan geometri 2, 8, 32,... Maka tentukan

1. Suku pertama dan rasionya

2. Rumus suku ke-n

3. U5

Jawaban:

1. Suku pertama dan rasionya

Suku pertama dari a adalah 2

Rasio atau r = 8/2 = 32/8 = 4

2. Rumus suku ke-n

Un = a.r^ (n-1)

Un = 2.4^(n-1)

3. Mencari U5

Un = 2.4^(n-1)

U5 = 2.4^(5-1)

U5 = 2.4^4

U5 = 2.256

U5 = 512

Soal 6

Berikut adalah barisan bilangan geometri 2, 8, 32, ... Maka, tentukan:

A. Suku pertama dan rasionya

B. Rumus suku ke-n, dan

C. U5

Jawaban:

A. Suku pertama dan rasionya

Suku pertama a = 2

Rasio r = 8/2 = 32/8 = 4

B. Rumus suku ke-n

Un = a.r^(n-1)

Un = 2.4^(n-1)

U5

Un = 2.4^(n-1)

U5 = 2.4^(5-1)

U5 = 2.4^4

U5 = 2.256

U5 = 512

Jadi, nilai suku ke-5 dari barisan geometri di atas adalah 512.

Soal 7

Jika diketahui barisan ke-5 adalah 48 dan suku ke-8 adalah 384, maka suku ke-4 pada barisan bilangan tersebut adalah?

Jawaban:

Barisan ke-5

U5 = a.r^(5-1) = 48

U4 = a.r^4 = 48

Suku ke-8

U8 = a.r^(8-1) = 384

U8 = a.r^7 = 384

Maka, U8/U5

(a.r^7) / (a.r^4) = 384 / 48

r^3 = 8

r = 2

Suku ke-5

r = U5/U4

U4 = U5/r

U4 = 48/2

U4 = 24

Jadi, suku ke-4 pada barisan bilangan geometri di atas adalah 24.

Soal 8

Pada 2015, wabah flu burung menyerang Indonesia dan beberapa peternak ayam mengalami kerugian karena banyaknya ayam yang mati.

Setiap 20 hari, jumlah ayamnya berkurang menjadi setengah. Setelah dua bulan, jumlah ayam yang tersisa adalah 200 ekor. Hitunglah jumlah ayam sebelumnya yang dimiliki peternak tersebut!

Jawaban:

Un = 200

r = 1/2

n = 2 bulan / 20 hari = 60 hari / 20 hari = 3

Dengan menggunakan konsep barisan geometri, maka jumlah awal ayam pak Budi adalah

Un = a.r^(n-1)

U3 = a.(1/2)^(3-1)

200 = a.(1/2)^(2)

200 = a.(1/4)

200.4 = a

a = 800

Jadi, jumlah mula-mula ayam pak Budi adalah 800 ekor.

Soal 9

Tentukan rumus suku ke-n dari barisan bilangan berikut 10, 13, 16...

Jawab:

Un= a + (n-1) b

Un= 10 + (n-1) 3

Un= 10 + 3n - 3

Un = 3n + 7

Jadi rumus suku ke-n yaitu Un = 3n + 7.

Soal 10

Dalam sebuah barisan geometri, suku pertama (a₁) adalah 2, suku ketiga (a₃) adalah 18. Temukan suku tengah (a₅) dari barisan ini!

Jawaban:

Untuk mencari suku tengah (a₅), perlu diketahui rasio (r) barisan ini. Bisa dihitung dengan cara membagi suku ketiga oleh suku pertama. yaitu:

r = a₃ / a₁ = 18 / 2 = 9

Sekarang, bisa mencari suku kelima (a₅) dengan menggunakan rumus suku tengah dalam barisan geometri:

a₅ = a₁ x r⁴

a₅ = 2 x 9⁴

a₅ = 2 x 6561

a₅ = 13122.

Jadi, suku tengah (a₅) dari barisan ini adalah 13122.

Soal 11

Dalam suatu barisan geometri, suku ketiga (a₃) adalah 24, dan suku kelima (a₅) adalah 192. Tentukan suku pertama (a₁) dan rasio (r) barisan ini!

Jawaban:

Untuk mencari suku pertama (a₁) dan rasio (r), bisa menggunakan informasi suku ketiga dan suku kelima. Pertama, hitung dulu rasio (r):

r = a₅ / a₃ = 192 / 24 = 8.

Kemudian, mencari suku pertama (a₁) dengan menggunakan rumus suku pertama dalam barisan geometri:

a₁ = a₃ / r = 24 / 8 = 3.

Jadi, suku pertama (a₁) adalah 3 dan rasio (r) adalah 8.

Manfat Mempelajari Barisan Geometri

Ilustrasi Rumus Barisan Geometri. Foto: Unsplash/Jakub Żerdzicki

Setelah memahami pengertian, rumus, dan contoh soal barisan geometri, penting juga mengetahui manfaat mempelajari barisan geometri. Manfaat ini dapat membuat setiap siswa termotivasi dalam memahaminya.

1. Pemahaman Pola Perkembangan

Mempelajari barisan geometri membantu meningkatkan pemahaman tentang pola perkembangan suatu rangkaian angka. Kemampuan ini dapat diterapkan dalam memecahkan masalah Matematika dan logika.

2. Pemodelan Fenomena Alami

Barisan geometri sering digunakan dalam pemodelan fenomena alami. Contohnya yakni seperti pertumbuhan populasi, penyebaran penyakit, atau bahkan pergerakan harga saham di pasar keuangan.

3. Analisis Keuangan

Dalam dunia keuangan, pemahaman terhadap barisan geometri membantu dalam menganalisis pertumbuhan investasi, pembayaran cicilan, dan pola-pola lain yang terkait dengan keuangan pribadi maupun perusahaan.

4. Optimasi Proses Bisnis

Penerapan barisan geometri dalam analisis data dapat membantu perusahaan untuk mengoptimalkan proses bisnis, seperti penjadwalan produksi, pengelolaan stok, atau perencanaan strategis

5. Pengembangan Teknologi

Dalam pengembangan teknologi, khususnya dalam bidang komputer dan pemrosesan sinyal, barisan geometri digunakan untuk merancang algoritma dan model matematis yang mendukung berbagai aplikasi.

6. Pengembangan Keterampilan Pemecahan Masalah

Mempelajari barisan geometri melibatkan pemecahan masalah yang memperkuat keterampilan analitis dan pemikiran logis. Hal ini membantu dalam mengembangkan kemampuan berpikir kritis.

7. Menyiapkan Dasar untuk Pelajaran Lanjutan

Pemahaman yang kuat tentang barisan geometri merupakan dasar yang penting untuk pelajaran matematika lanjutan, seperti deret matematika, kalkulus, dan topik matematika lainnya.

Baca Juga: Bilangan Bulat: Pengertian, Sejarah, hingga Operasi Hitungnya

Rumus barisan geometri termasuk salah satu mata pelajaran yang mudah untuk dipelajari pada mata pelajaran Matematika. Selamat belajar. (glg)