Rumus Deret Aritmatika Lengkap dengan Contoh Soalnya

Ilustrasi rumus deret aritmatika. Foto: pexels

Rumus deret aritmatika adalah salah satu bab dalam pelajaran Matematika. Menurut Modul Matematika Kelas XI oleh Istiqomah pada 2020, deret artimatika adalah jumlah dari semua suku-suku yang ada dalam barisan aritmatika.

Untuk lebih jelasnya tentang materi rumus deret aritmatika, simaklah artikel ini hingga habis. Selain itu, juga akan dibagikan beberapa contoh soalnya untuk menambah pemahaman peserta didik.

Rumus Deret Aritmatika

Ilustrasi rumus deret aritmatika. Foto: pexels.com/@tima-miroshnichenko

Seperti yang sudah dijelaskan di atas, deret aritmatika adalah jumlah dari semua suku-suku yang ada dalam barisan aritmatika. Deret aritmatika dapat dinyatakan dengan menjumlahkan suku-suku dalam barisan aritmatika.

Berdasarkan buku Matematika SMK 2: Kelompok Bisnis dan Manajemen terbitan Grasindo, untuk menyatakan jumlah n suku dalam barisan aritmatika adalah menggunakan simbol Sn.

Apabila barisan aritmatika tersebut naik, saat dijumlahkan akan terbentuk deret aritmatika naik. Begitu juga bila suku-suku pada barisan aritmatika tersebut turun, saat dijumlahkan akan terbentuk deret aritmatika turun.

Berikut ini adalah rumus deret aritmatika:

Keterangan:

Sn = Deret aritmatika

a = Suku pertama

n = Jumlah suku

b = Beda

Baca juga: Rumus Skala Peta, Contoh Soal, dan Cara Menghitungnya

Contoh Soal Rumus Deret Aritmatika

Ilustrasi rumus deret aritmatika. Foto: Unsplash/Antoine Dautry

Setelah mengetahui dan memahami rumus deret aritmatika, untuk menambah pemahaman peserta didik, berikut ini dibagikan beberapa contoh soal dan pembahasannya, dirangkum dari Rumus Lengkap Matematika SMP oleh J Untoro pada 2006, Barisan dan Deret Bilangan oleh Atmini Dhoruri M.S., dan sumber lainnya:

1. Diketahui deret aritmatika: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + …, hitunglah: jumlah suku ke 200!

Diketahui:

a = 1

b = 2

n = 200

Ditanya: S200 = ?

Dijawab:

Sn = n/2 (a + un)

S200 = 200/2 (1 + U200)

U200 = 399

S200 = 40.000

Jadi, jumlah suku ke-200 adalah 40.000.

2. Suatu deret aritmatika 5, 15, 25, 35… Berapakah jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika di atas?

Diketahui:

n = 10

U1 = 5

b = 15 – 5= 10

Ditanya: S10 = ?

Dijawab:

Sn = (2a + (n-1)b)

S10 = (2 x 5 + (10-1)10)

S10 = 500

Jadi, jumlah suku ke-10 adalah 500.

3. Carilah jumlah 30 suku yang pertama dari deret 4 + 6 + 8 + 10 + ...

Diketahui:

a = 4

b = 2

n = 30

Ditanya: S30 = ?

Dijawab:

Sn = n (a1 + Un)/2

Sn = n (a + a + (n - 1) . b)/2

Sn = n (2a + (n - 1) . b)/2

= {30 (2 . 4 + (30 - 1) . 2)}/2

= 990

Jadi, jumlah 30 suku yang pertama dari deret aritmetika tersebut adalah 990.

4. Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan Sn = 2n² + 4n. Suku ke-9 dari deret aritmetika tersebut adalah...

Dijawab:

U9 = S9 - S8

= 2(9² - 8²) + 4(9 - 8)

= 2(17) + 4

= 38

Jadi, suku ke-9 dari deret aritmetika tersebut adalah 38.

5. Mediana bekerja di sebuah perusahaan tekstil dengan kontrak selama 20 tahun dengan gaji awal Rp2.500.000. Setiap tahun Mediana mendapatkan kenaikan gaji secara berkala sebesar Rp500.000. Berapa total seluruh gaji yang diterima oleh Mediana hingga kontrak kerjanya selesai?

Diketahui:

a = Rp2.500.000

b = Rp500.000

n = 20

Ditanya: S20 = ?

Dijawab:

Sn = n/2 (2a + (n - 1) . b)

S20 = 20/2 (2 (2.500.000 + (19) 500.000)

= 10 (5.000.000 + 9.500.000)

= 10 (14.500.000)

= 145.000.000

Jadi, total seluruh gaji yang akan diterima oleh Mediana hingga kontrak kerjanya selesai sebesar Rp145.000.000.

6. Diketahui deret aritmatika 3 + 7 + 11 + 15 + .... Tentukan S16 dan apakah deret tersebut termasuk deret naik atau deret turun?

Diketahui:

a = 3

b = 4

n = 16

Ditanya: S16 = ?

Dijawab:

Sn = n/2 (2a + (n - 1) . b)

S16 = 16/2 (2.3 + 16 - 1) 4)

S16 = 8 (6 + 60)

S16 = 8 . 66

S16 = 528

Jadi, deret aritmatikanya adalah 528 dan deret tersebut termasuk deret naik karena pembedanya b =4 adalah positif.

7. Diketahui deret aritmatika 48 + 45 + 42 + 39 + .... Tentukan S16 dan apakah deret tersebut termasuk deret naik atau deret turun?

Diketahui:

a = 48

b = -3

n = 18

Ditanya: S18 = ?

Dijawab:

Sn = n/2 (2a + (n - 1) . b)

S18 = 18/2 (96 + (18 -1). (-3)

S18 = 9 (96 - 51)

S18 = 9 . 45

S18 = 405

Jadi, deret aritmatikanya adalah 405 dan deret tersebut termasuk deret turun karena pembedanya b =-3 adalah negatif.

8. Tentukan jumlah 20 suku pertama deret 3 + 7 + 11 + ...

Diketahui:

a = 3

b = 7 - 3 = 4

n = 20

Ditanya: S20 = ?

Dijawab:

Sn = n/2 (2a + (n - 1) . b)

S20 = 20/2 (2.3 + (20 - 1) 4)

S20 = 10 ( 6 + (19 . 4)

S20 = 10 (6 + 76)

S20 = 10 . 82

S20 = 820

Jadi, jumlah 20 suku pertama adalah 820.

9. Suatu barisan aritmatika dengan suku ke-4 adalah 12 dan suku ke-12 adalah -28. Tentukan jumlah 15 suku pertama!

Penyelesaian:

U12 = a + 11b = -28

U4 = a + 3b = -12

Eliminasi U12 dan U4 untuk mencari b, diperoleh b = -2

Kemudian, substitusi nilai b ke U4 untuk mencari a

U4 = a + 3b = -12

a + 3 . -2 = -12

a = -12 + 6

a = -6

Subsitusi a dan b untuk mencari S15

Sn = n/2 (2a + (n - 1) . b)

S15 = 15/2 (2 . -6) + (15 - 1) -2)

S15 = 15/2 ( -12 + ( 14 . -2)

S15 = 15/2 (-40)

S15 = -300

Jadi, jumlah 15 suku pertama adalah -300.

10. Suatu deret aritmatika dengan S12 = 150 dan S11 = 100, tentukan U12!

Penyelesaian:

Karena diketahui S12 dan S11, sehingga untuk mencari Un bisa menggunakan rumus: Un = Sn - Sn-1

U12 = S12 - S11

U12 = 150 - 100

U12 = 50

Jadi, nilai dari U12 adalah 50

11. Suatu barisan aritmatika dirumuskan Un = 6n - 2, tentukan rumus Sn!

Penyelesaian:

Diketahui Un = 6n - 2, untuk mencari U1, U2, U3, ... dapat mensubstusi nilai n = 1, 2, 3, ... sebagai berikut:

a = U1 = 6 (1) - 2 = 4

U2 = 6 (2) - 2 = 10

b = U2 - U1 = 10 - 4 = 6

Subsitusi nilai a = 4 dan b = 6 untuk mencari Sn

Sn = n/2 (2a + (n - 1) . b)

Sn = n/2 (2 . 4 + (n - 1) 6)

Sn = n/2 (8 + (n - 1) 6)

Sn = n/2 (8 + 6n - 6)

Sn = n/2 (6n + 2)

Sn = 3n² + n

Jadi, rumus Sn adalah Sn = 3n² + n

12. Tentukan jumlah semua bilangan ganjil antara 10 dan 200!

Penyelesaian:

Jumlah bilangan ganjil antara 10 hingga 200 dapat ditulis sebagai berikut: 11 + 13 + 15 + 17 + ... + 199

Sehigga, dapat diketahui: a = 11, b = 2, Un = 199

Un = a + (n - 1) b = 199

11 + (n - 1) 2 = 199

11 + 2n - 2 = 199

9 + 2n = 199

2n = 190

n = 95

Substitusi nilai n = 95 untuk mencari Sn

Sn = n/2 (a + Un)

Sn = 95/2 (11 + 199)

Sn = 95/2 (210)

Sn = 9.975

Jadi, jumlah semua bilangan ganjil antara 10 dan 200 adalah 9.975.

(NSF)