Rumus Lingkaran Lengkap dengan Contoh Soal dan Pembahasannya
Menyajikan beragam informasi terbaru, terkini dan mengedukasi.
·waktu baca 7 menit
Tulisan dari Kabar Harian tidak mewakili pandangan dari redaksi kumparan
PerbesarDaftar isi
Daftar isi
Daftar isi
Lingkaran merupakan salah satu objek dua dimensi yang dipelajari dalam geometri. Rumus lingkaran digunakan untuk mempelajari hal-hal yang berkaitan dengan lingkaran seperti luas, keliling, diameter serta jari-jari lingkaran.
Pelajar yang ingin mengerjakan soal tentang lingkaran dapat belajar untuk memahami rumus-rumus yang digunakan dalam bangun lingkaran. Berikut adalah rumus lingkaran lengkap beserta contoh soal dan pembahasannya yang dapat digunakan sebagai referensi.
Pengertian Lingkaran
Menurut Drs. Joko Untoro dalam buku Rumus Matematika SMA, lingkaran merupakan kedudukan titik-titik yang berjarak sama suatu pusat lingkaran. Lingkaran juga dapat didefinisikan sebagai kurva tertutup sederhana yang memiliki segi tak terhingga.
Sifat-sifat Lingkaran
Lingkaran memiliki sifat yang dapat membedakannya dengan bangun datar lain. Berikut adalah sifat-sifat yang dimiliki oleh lingkaran:
Lingkaran memiliki satu titik pusat.
Lingkaran memiliki jari-jari yang panjangnya setengah dari diameter.
Lingkaran memiliki jumlah sudut 360°.
Lingkaran memiliki simetri lipat tak terhingga.
Lingkaran memiliki simetri putar tak terhingga.
Lingkaran memiliki sumbu simetri tak terhingga.
Unsur-unsur Penyusun Lingkaran
Terdapat banyak unsur yang menyusun lingkaran. Berikut adalah unsur-unsur penyusun lingkaran:
Titik Pusat: titik yang berada di tengah lingkaran.
Jari-jari: jarak antara permukaan lingkaran atau keliling lingkaran dengan titik pusat lingkaran.
Tali busur: panjang garis yang menghubungkan antara dua titik pada keliling lingkaran.
Diameter: jarak antara permukaan lingkaran yang melalui titik pusat.
Keliling: panjang kelengkungan permukaan lingkaran.
Luas: area yang berada di dalam lengkung lingkaran.
Juring: sebagian luas lingkaran.
Apotema: panjang terpendek antara dua titik di permukaan lingkaran.
Tembering: luas yang dibatasi antara apotema dan permukaan lingkaran.
Rumus Lingkaran
Terdapat berbagai rumus lingkaran yang digunakan untuk menyelesaikan soal matematika. Berikut adalah rumus lingkaran yang dapat digunakan sebagai referensi berdasarkan buku Cara Mudah UN Mat 09 SMP/Mts.
1. Luas Lingkaran
Luas lingkaran didefinisikan sebagai daerah arsiran di dalam keliling lingkaran. Rumus luas lingkaran adalah sebagai berikut:
L = π x r² atau L = ¼ x π x d²
Keterangan: L = luas lingkaran r = jari-jari lingkaran π = pi, biasanya bernilai 22/7 atau 3,14 d = diameter lingkaran, bernilai dua kali jari-jari lingkaran.
2. Keliling Lingkaran
Rumus kedua adalah keliling lingkaran. Keliling lingkaran didefinisikan sebagai panjang linier yang mengelilingi lingkaran. Berikut adalah rumus keliling lingkaran:
K = 2 x π x r atau K = π x d
Keterangan: K = keliling lingkaran r = jari-jari lingkaran π = pi, biasanya bernilai 22/7 atau 3,14 d = diameter lingkaran, bernilai dua kali jari-jari lingkaran
3. Panjang Busur
Panjang busur merupakan jarak antara dua titik pada lingkaran yang diukur sepanjang lingkaran. Panjang busur berbanding lurus dengan besar sudut pusat yang dibentuk oleh kedua titik. Rumus panjang busur adalah sebagai berikut.
Panjang busur = ( x°/360°) x K
Keterangan: x° =besar sudut busur 360° = besar sudut lingkaran K = keliling lingkaran
4. Luas Juring
Luas juring adalah daerah arsiran yang berada di dalam juring lingkaran. Juring lingkaran dapat terbentuk karena dibatasi oleh dua jari-jari yang berada di dalam lingkaran. Berikut adalah rumus luas juring lingkaran:
Luas juring = ( x°/360°) x L
Keterangan: x° = besar sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari pada lingkaran 360° = besar sudut lingkaran L = luas lingkaran
5. Keliling Juring Lingkaran
Keliling juring lingkaran merupakan ukuran panjang busur lingkaran dan dua garis singgung yang membentuk juring lingkaran. Rumus keliling juring lingkaran adalah sebagai berikut:
Keliling juring = (2 x r) + panjang busur
Kj = [(2 x r)] + [( x°/360°) x K]
Keterangan: x° =besar sudut busur 360° = besar sudut lingkaran K = keliling lingkaran r = jari-jari lingkaran
6. Luas Tembereng Lingkaran
Luas tembereng lingkaran merupakan luas area di dalam lingkaran yang dibatasi oleh busur dan tali busur. Luas tembereng dipengaruhi oleh besar sudut pusat juring lingkaran dan dibatasi oleh tali busur. Berikut adalah rumus luas tembereng lingkaran:
Luas tembereng = Luas juring - L Segitiga AOB L = [(Θ/360°) x πr²] – [½ x r² x sinΘ] L = r² [(π Θ/360°) – (sin Θ/2)]
Keterangan: L = luas tembereng r = jari-jari lingkaran π = phi (22/7 atau 3,14) Θ = sudut pusat juring (°)
7. Keliling Tembereng Lingkaran
Keliling tembereng lingkaran adalah jumlah panjang tali busur dan panjang busur pada bagian lingkaran. Berikut adalah rumus keliling tembereng lingkaran:
Keliling tembereng = Panjang tali busur + Panjang busur Kt = Panjang tali busur + [( x°/360°) x K]
Keterangan: Kt = keliling tembereng x° = besar sudut busur 360° = besar sudut lingkaran K = keliling lingkaran
8. Rumus Umum Persamaan Lingkaran
Sebuah persamaan dapat dibentuk dari lingkaran yang memiliki pusat lingkaran dan jari-jari. Persamaan lingkaran dengan pusat (h, k) dan jari-jari r adalah sebagai berikut:
(xh)² + (yk)² = r²
Persamaan tersebut adalah bentuk standar. Apabila diketahui koordinat pusat dan jari-jari lingkaran maka dapat dibentuk persamaan menggunakan rumus tersebut.
Contoh: titik (1,2) adalah pusat lingkaran dan jari-jarinya sama dengan 4 cm. Maka persamaan lingkarannya adalah:
(x-1)²+(y-2)² = 42
(x²−2x+1)+(y²−4y+4) = 16
x²+y²−2x−4y-11 = 0
Contoh Soal dan Pembahasan
Terdapat berbagai contoh soal dan pembahasan yang dapat diselesaikan menggunakan rumus lingkaran. Berikut adalah contoh soal dan pembahasan rumus lingkaran yang dapat digunakan sebagai referensi:
1. Mencari Jari-jari Jika Diketahui Panjang Busur
Soal: Suatu lingkaran memiliki panjang busur AB= 33 cm. Jika besar sudut AOB =90° maka panjang jari-jari lingkaran tersebut adalah...
Pembahasan: Panjang busur = ( x°/360°) x (2 x π x r)
33 = (90°/360°) x (2 x 22/7 x r)
33 = 1/4 x 44/7 x r
33 = 11/7 x r
33 = 11r/7
11r = 33 x 7
11r = 231
r = 21 cm
2. Mencari Diameter Jika Diketahui Luas Juring
Soal:
Diketahui luas juring AOB adalah 7,85 cm². Jika besar sudut AOB adalah 100° maka diameter lingkaran adalah ...
Pembahasan:
Luas juring = ( x°/360°) x (π x r²)
7,85 cm² = ( 100°/360°) x (3,14 x r²)
7,85 cm² = (5/18) x (3,14 x r²)
r² = 141,3 : 15,7
r² = 9
r = 3
3. Mencari Persamaan Lingkaran
Soal:
Jika pusat lingkaran berada di (0,4) dan diameter lingkaran 6, berapakah persamaan lingkaran tersebut?
Pembahasan:
Rumus persamaan lingkaran adalah:
(xh)²+ (yk)² = r²
Dimana (h,k) adalah pusat lingkaran.
Pusat lingkaran berada di (0,4), maka h=0 dan k= 4
diameter = 6 maka jari-jari = 3
(x-0)² + (y-4)² = 3²
x² + (y-4)² = 9
Jadi persamaan yang dapat dibentuk adalah x² + (y-4)² = 9
4. Mencari Persamaan Lingkaran Baru
Soal:
Lingkaran A diberikan persamaan (x – 4)² + (y + 3)² = 29. Lingkaran A digeser ke atas sebanyak lima satuan dan ke kiri sebanyak enam satuan. Kemudian radiusnya menjadi dua kali lipat. Apa persamaan baru untuk lingkaran A?
Pembahasan:
Persamaan umum lingkaran adalah (x – h)² + (y – k)² = r² , dengan (h, k) menyatakan letak pusat lingkaran, dan r menyatakan panjang jari-jarinya.
Lingkaran A mula-mula mempunyai persamaan (x – 4)² + (y + 3)² = 29. Artinya pusatnya harus terletak di (4, –3), dan jari-jarinya √29.
Lingkaran A digeser ke atas sebanyak lima satuan dan kemudian ke kiri sebanyak enam satuan. Artinya koordinat y pusatnya bertambah lima, dan koordinat x pusatnya berkurang 6. Jadi, pusat baru terletak di (4 – 6, –3 + 5), atau ( –2, 2).
Jari-jari lingkaran A menjadi dua kali lipat, yang berarti jari-jari barunya adalah 2√29.
Persamaan umum lingkaran baru tersebut adalah
(x – h)²+ (y – k)²= r².
(x – (–2))²+ (y – 2)²= (2√29)²
(x + 2)² + (y– 2)2 = 116.
Jawabannya adalah (x + 2) 2 + (y – 2) 2 = 116.
Baca juga:
Demikian rumus lingkaran lengkap beserta contoh soal dan pembahasannya yang dapat digunakan sebagai referensi. Pelajar dapat meningkatkan kemampuan berhitung menggunakan rumus lingkaran dengan rajin berlatih mengerjakan latihan soal. (Fia)
Baca juga: Daftar Rumus Bangun Datar Lengkap dengan Contoh Soalnya untuk Mengajari Si Kecil