Rumus Lingkaran Lengkap dengan Contoh Soal dan Pembahasannya

Ilustrasi rumus lingkaran. Pexels/Karolina Grabowska

Lingkaran merupakan salah satu objek dua dimensi yang dipelajari dalam geometri. Rumus lingkaran digunakan untuk mempelajari hal-hal yang berkaitan dengan lingkaran seperti luas, keliling, diameter serta jari-jari lingkaran.

Pelajar yang ingin mengerjakan soal tentang lingkaran dapat belajar untuk memahami rumus-rumus yang digunakan dalam bangun lingkaran. Berikut adalah rumus lingkaran lengkap beserta contoh soal dan pembahasannya yang dapat digunakan sebagai referensi.

Pengertian Lingkaran

Ilustrasi rumus lingkaran. Pexels/Karolina Grabowska

Menurut Drs. Joko Untoro dalam buku Rumus Matematika SMA, lingkaran merupakan kedudukan titik-titik yang berjarak sama suatu pusat lingkaran. Lingkaran juga dapat didefinisikan sebagai kurva tertutup sederhana yang memiliki segi tak terhingga.

Sifat-sifat Lingkaran

Ilustrasi rumus lingkaran. Pexels/Karolina Grabowska

Lingkaran memiliki sifat yang dapat membedakannya dengan bangun datar lain. Berikut adalah sifat-sifat yang dimiliki oleh lingkaran:

Unsur-unsur Penyusun Lingkaran

Ilustrasi rumus lingkaran. Pexels/Andrea Piacquadio

Terdapat banyak unsur yang menyusun lingkaran. Berikut adalah unsur-unsur penyusun lingkaran:

Rumus Lingkaran

Ilustrasi rumus lingkaran. Pexels/Monstera Production

Terdapat berbagai rumus lingkaran yang digunakan untuk menyelesaikan soal matematika. Berikut adalah rumus lingkaran yang dapat digunakan sebagai referensi berdasarkan buku Cara Mudah UN Mat 09 SMP/Mts.

1. Luas Lingkaran

Luas lingkaran didefinisikan sebagai daerah arsiran di dalam keliling lingkaran. Rumus luas lingkaran adalah sebagai berikut:

L = π x r² atau L = ¼ x π x d²

Keterangan: L = luas lingkaran r = jari-jari lingkaran π = pi, biasanya bernilai 22/7 atau 3,14 d = diameter lingkaran, bernilai dua kali jari-jari lingkaran.

2. Keliling Lingkaran

Rumus kedua adalah keliling lingkaran. Keliling lingkaran didefinisikan sebagai panjang linier yang mengelilingi lingkaran. Berikut adalah rumus keliling lingkaran:

K = 2 x π x r atau K = π x d

Keterangan: K = keliling lingkaran r = jari-jari lingkaran π = pi, biasanya bernilai 22/7 atau 3,14 d = diameter lingkaran, bernilai dua kali jari-jari lingkaran

3. Panjang Busur

Panjang busur merupakan jarak antara dua titik pada lingkaran yang diukur sepanjang lingkaran. Panjang busur berbanding lurus dengan besar sudut pusat yang dibentuk oleh kedua titik. Rumus panjang busur adalah sebagai berikut.

Panjang busur = ( x°/360°) x K

Keterangan: x° =besar sudut busur 360° = besar sudut lingkaran K = keliling lingkaran

4. Luas Juring

Luas juring adalah daerah arsiran yang berada di dalam juring lingkaran. Juring lingkaran dapat terbentuk karena dibatasi oleh dua jari-jari yang berada di dalam lingkaran. Berikut adalah rumus luas juring lingkaran:

Luas juring = ( x°/360°) x L

Keterangan: x° = besar sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari pada lingkaran 360° = besar sudut lingkaran L = luas lingkaran

5. Keliling Juring Lingkaran

Keliling juring lingkaran merupakan ukuran panjang busur lingkaran dan dua garis singgung yang membentuk juring lingkaran. Rumus keliling juring lingkaran adalah sebagai berikut:

Keliling juring = (2 x r) + panjang busur

Kj = [(2 x r)] + [( x°/360°) x K]

Keterangan: x° =besar sudut busur 360° = besar sudut lingkaran K = keliling lingkaran r = jari-jari lingkaran

6. Luas Tembereng Lingkaran

Luas tembereng lingkaran merupakan luas area di dalam lingkaran yang dibatasi oleh busur dan tali busur. Luas tembereng dipengaruhi oleh besar sudut pusat juring lingkaran dan dibatasi oleh tali busur. Berikut adalah rumus luas tembereng lingkaran:

Luas tembereng = Luas juring - L Segitiga AOB L = [(Θ/360°) x πr²] – [½ x r² x sinΘ] L = r² [(π Θ/360°) – (sin Θ/2)]

Keterangan: L = luas tembereng r = jari-jari lingkaran π = phi (22/7 atau 3,14) Θ = sudut pusat juring (°)

7. Keliling Tembereng Lingkaran

Keliling tembereng lingkaran adalah jumlah panjang tali busur dan panjang busur pada bagian lingkaran. Berikut adalah rumus keliling tembereng lingkaran:

Keliling tembereng = Panjang tali busur + Panjang busur Kt = Panjang tali busur + [( x°/360°) x K]

Keterangan: Kt = keliling tembereng x° = besar sudut busur 360° = besar sudut lingkaran K = keliling lingkaran

8. Rumus Umum Persamaan Lingkaran

Sebuah persamaan dapat dibentuk dari lingkaran yang memiliki pusat lingkaran dan jari-jari. Persamaan lingkaran dengan pusat (h, k) dan jari-jari r adalah sebagai berikut:

(xh)² + (yk)² = r²

Persamaan tersebut adalah bentuk standar. Apabila diketahui koordinat pusat dan jari-jari lingkaran maka dapat dibentuk persamaan menggunakan rumus tersebut.

Contoh: titik (1,2) adalah pusat lingkaran dan jari-jarinya sama dengan 4 cm. Maka persamaan lingkarannya adalah:

(x-1)²+(y-2)² = 42

(x²−2x+1)+(y²−4y+4) = 16

x²+y²−2x−4y-11 = 0

Contoh Soal dan Pembahasan

Ilustrasi rumus lingkaran. Pexels/cottonbro studio

Terdapat berbagai contoh soal dan pembahasan yang dapat diselesaikan menggunakan rumus lingkaran. Berikut adalah contoh soal dan pembahasan rumus lingkaran yang dapat digunakan sebagai referensi:

1. Mencari Jari-jari Jika Diketahui Panjang Busur

Soal: Suatu lingkaran memiliki panjang busur AB= 33 cm. Jika besar sudut AOB =90° maka panjang jari-jari lingkaran tersebut adalah...

Pembahasan: Panjang busur = ( x°/360°) x (2 x π x r)

33 = (90°/360°) x (2 x 22/7 x r)

33 = 1/4 x 44/7 x r

33 = 11/7 x r

33 = 11r/7

11r = 33 x 7

11r = 231

r = 21 cm

2. Mencari Diameter Jika Diketahui Luas Juring

Soal:

Diketahui luas juring AOB adalah 7,85 cm². Jika besar sudut AOB adalah 100° maka diameter lingkaran adalah ...

Pembahasan:

Luas juring = ( x°/360°) x (π x r²)

7,85 cm² = ( 100°/360°) x (3,14 x r²)

7,85 cm² = (5/18) x (3,14 x r²)

r² = 141,3 : 15,7

r² = 9

r = 3

3. Mencari Persamaan Lingkaran

Soal:

Jika pusat lingkaran berada di (0,4) dan diameter lingkaran 6, berapakah persamaan lingkaran tersebut?

Pembahasan:

Rumus persamaan lingkaran adalah:

(xh)²+ (yk)² = r²

Dimana (h,k) adalah pusat lingkaran.

Pusat lingkaran berada di (0,4), maka h=0 dan k= 4

diameter = 6 maka jari-jari = 3

(x-0)² + (y-4)² = 3²

x² + (y-4)² = 9

Jadi persamaan yang dapat dibentuk adalah x² + (y-4)² = 9

4. Mencari Persamaan Lingkaran Baru

Soal:

Lingkaran A diberikan persamaan (x – 4)² + (y + 3)² = 29. Lingkaran A digeser ke atas sebanyak lima satuan dan ke kiri sebanyak enam satuan. Kemudian radiusnya menjadi dua kali lipat. Apa persamaan baru untuk lingkaran A?

Pembahasan:

Persamaan umum lingkaran adalah (x – h)² + (y – k)² = r² , dengan (h, k) menyatakan letak pusat lingkaran, dan r menyatakan panjang jari-jarinya.

Lingkaran A mula-mula mempunyai persamaan (x – 4)² + (y + 3)² = 29. Artinya pusatnya harus terletak di (4, –3), dan jari-jarinya √29.

Lingkaran A digeser ke atas sebanyak lima satuan dan kemudian ke kiri sebanyak enam satuan. Artinya koordinat y pusatnya bertambah lima, dan koordinat x pusatnya berkurang 6. Jadi, pusat baru terletak di (4 – 6, –3 + 5), atau ( –2, 2).

Jari-jari lingkaran A menjadi dua kali lipat, yang berarti jari-jari barunya adalah 2√29.

Persamaan umum lingkaran baru tersebut adalah

(x – h)²+ (y – k)²= r².

(x – (–2))²+ (y – 2)²= (2√29)²

(x + 2)² + (y– 2)2 = 116.

Jawabannya adalah (x + 2) 2 + (y – 2) 2 = 116.