Segitiga Pascal: Pengertian, Pola Bilangan, dan Cara Menghitung

Ilustrasi segitiga Pascal. Foto: pngdownload.id

Dalam matematika, segitiga Pascal adalah sebuah aturan geometri pada koefisien binomial dalam suatu segitiga. Pola bilangan segitiga Pascal dapat digunakan untuk menentukan koefisien pada suku banyak (a + b)n, dengan n himpunan bilangan asli.

Dikutip dari Mari Memahami Konsep Matematika oleh Wahyudin Djumanta, segitiga Pascal merupakan susunan bilangan berbentuk segitiga yang ditemukan pertama kali oleh seorang ahli matematika bernama Blaise Pascal.

Meskipun dinamai atas namanya, segitiga Pascal sebenarnya telah dikaji oleh ahli matematika lainnya selama berabad-abad sebelumnya di India, Persia, Tiongkok, dan Italia.

Artikel ini akan membahas lebih lanjut mengenai pola bilangan segitiga Pascal, mulai dari konsep perhitungan, contoh soal, hingga bentuk-bentuk dan rumus pola bilangan lainnya.

Pola Bilangan pada Segitiga Pascal

Ilustrasi mengerjakan soal pola bilangan segitiga Pascal. Foto: Unsplash

Susunan segitiga Pascal dibuat dengan menjumlahkan elemen yang berdekatan dalam baris sebelumnya.

Barisan segitiga Pascal umumnya dihitung dimulai dengan baris kosong, dan nomor-nomor dalam barisan ganjil diatur agar terkait dengan nomor-nomor dalam baris genap.

Konsep segitiga Pascal adalah melakukan perhitungan tanpa memperhatikan variabel a dan b. Dalam artian, cukup memperhatikan koefisien binomialnya, sebagai berikut.

Ilustrasi susunan pola segitiga Pascal. Foto: pngwing.com

Salah satu penggunaan segitiga Pascal lainnya adalah untuk menentukan koefisien dalam perpangkatan (a+b) ataupun (a-b) agar lebih efisien.

Sebagai contoh, berikut penggunaan segitiga Pascal dalam perpangkatan (a+b).

Ilustrasi pola segitiga Pascal. Foto: rumusrumus.com

Pola segitiga Pascal di atas diperlihatkan hingga pangkat ke-6, dan pola tersebut dapat diteruskan sampai tak terhingga. Untuk mengaplikasikan segitiga Pascal di atas, berikut penjelasannya.

Perhatikan pola dalam mengerjakan soal pangkat 2 berikut dan perhatikan koefisien untuk pangkat 2 dalam skema segitiga Pascal di atas.

(a+b)² = a² + 2ab + b²

Pola pangkatnya untuk variabel pertama (a) berjalan dari besar ke kecil, yaitu dari 2, 1, 0 dan untuk variabel kedua (b) berjalan dari kecil ke besar, yaitu dari 0, 1, 2.

Contoh lainnya, perhatikan pola dalam mengerjakan soal pangkat 3 berikut dan perhatikan koefisien untuk pangkat 3 dalam skema segitiga Pascal di atas.

(a+b)³ = 1a³bº + 3a²b¹ + 3a¹b² + 1aºb³ (perhatikan pola pangkatnya)

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Pola pangkatnya untuk variabel pertama (a) berjalan dari besar ke kecil, yaitu dari 3, 2, 1, 0 dan untuk variabel kedua (b) berjalan dari kecil ke besar, yaitu dari 0, 1, 2, 3.

Jadi, dengan memakai pola segitiga Pascal ini dapat menghemat waktu untuk menghitung soal dengan pangkat yang besar.

Misalnya, ada soal (a+b) dengan pangkat 8, 9, atau 10, maka jika harus menghitung secara manual akan memakan waktu dan tenaga yang cukup banyak, karena membutuhkan proses yang panjang.

Namun, dengan adanya segitiga Pascal ini, akan lebih mudah dan lebih cepat menemukan hasilnya, serta mengurangi risiko keliru dalam menghitung.

Apa Itu Pola Bilangan?

Ilustrasi mengerjakan soal pola bilangan. Foto: Unsplash

Pola bilangan adalah susunan angka-angka yang mempunyai pola-pola tertentu. Misalnya, pada kalender terdapat susunan angka-angka baik mendatar, menurun, maupun diagonal.

Dikutip dari Peka Matematika Lanjutan: Buku Suplemen untuk Siswa SMA/MA oleh Darmawati (2019: 162), pola bilangan adalah aturan yang menyebabkan bilangan-bilangan yang ada berubah secara beraturan. Setiap pola bilangan memiliki karakteristik dan rumus masing-masing.

Pola bilangan biasa digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam matematika. Biasanya, masalah tersebut disajikan dalam bentuk barisan bilangan, kemudian diminta untuk menentukan pola atau beberapa bilangan selanjutnya.

Bentuk-Bentuk dan Rumus Pola Bilangan

Ilustrasi mengerjakan soal pola bilangan. Foto: Pexels

Susunan angka pada pola bilangan memiliki bentuk dan rumus tertentu. Dikutip dari Explore Matematika Jilid 2 untuk SMP/MTs Kelas VIII oleh Agus Supriyanto, dkk., (2016: 346-348), adapun bentuk-bentuk dan rumus pola bilangan adalah sebagai berikut.

1. Pola pada Bilangan Ganjil

Pola ini tersusun dari bilangan-bilangan ganjil, yakni bilangan yang tidak bisa habis dibagi 2. Berikut bentuk pola bilangan ganjil dan rumusnya:

2. Pola pada Bilangan Genap

Pola ini tersusun dari bilangan-bilangan genap, yakni bilangan yang bisa habis dibagi 2. Berikut bentuk pola bilangan genap dan rumusnya:

3. Pola Bilangan Aritmatika

Pola bilangan aritmatika adalah pola bilangan dengan urutan bilangan sebelum dan sesudahnya memiliki selisih yang sama. Berikut bentuk pola bilangan aritmatika dan rumusnya:

Suku pertama dalam bilangan aritmetika disebut dengan awal (a) atau U1, suku kedua adalah U2, dan seterusnya. Selisih dalam barisan aritmetika disebut dengan beda dan dilambangkan dengan b.

4. Pola pada Bilangan Geometri

Pola bilangan geometri adalah suatu bilangan yang merupakan hasil perkalian bilangan sebelumnya dengan suatu bilangan yang tetap. Berikut bentuk pola bilangan geometri dan rumusnya:

5. Pola Persegi

Pola persegi adalah pola bilangan yang susunannya mengikuti bangun persegi. Ciri khas pola persegi adalah jumlah sisi-sisinya sama. Berikut bentuk pola bilangan persegi dan rumusnya:

6. Pola Persegi Panjang

Pola persegi panjang adalah pola bilangan yang bentuk susunannya seperti bangun persegi panjang. Bilangan prima tidak dapat disusun menjadi pola persegi panjang. Berikut bentuk pola bilangan persegi panjang dan rumusnya:

7. Pola Segitiga

Pola segitiga adalah bentuk pola bilangan yang susunannya mengikuti segitiga. Berikut bentuk pola bilangan segitiga dan rumusnya:

8. Pola Bilangan Fibonacci

Pola bilangan Fibonacci adalah pola bilangan dengan aturan dua pola dijumlahkan, kemudian menghasilkan pola berikutnya dan seterusnya. Berikut bentuk pola bilangan Fibonacci dan rumusnya:

9. Pola Segitiga Pascal

Pola segitiga Pascal adalah jumlah bilangan-bilangan dari setiap garis pada segitiga Pascal. Berikut bentuk pola bilangan segitiga Pascal dan rumusnya:

Baca Juga: Contoh Soal Pola Bilangan Lengkap dengan Rumusnya

Contoh Soal Pola Bilangan dan Pembahasannya

Ilustrasi mengerjakan soal pola bilangan. Foto: Unsplash

Setelah mengetahui bentuk pola bilangan dan rumusnya di atas, selanjutnya Anda bisa mempelajari contoh-contoh soalnya untuk memahami lebih lanjut. Berikut adalah beberapa contoh soal matematika mengenai pola bilangan yang bisa dipelajari.

1. Contoh Soal Pola Geometri

Diketahui terdapat suatu pola geometri 2, 8, 32, ... Berapakah suku ke-5 dari pola tersebut?

Pembahasan:

Diketahui: a = 2, r = 8/2 = 4, n = 5

Ditanya: U5

Jawaban:

Un = ar^(n - 1)

U5 = 2.4^(n - 1)

U5 = 2.4^(5 - 1)

U5 = 2.4^4

U5 = 2.256

U5 = 512

Jadi, suku ke-5 dari pola bilangan di atas adalah 512.

2. Contoh Soal Pola Aritmatika

Diketahui terdapat suatu pola aritmetika 2, 5, 8, 11, … Berapakah suku ke-100 dari pola bilangan tersebut?

Pembahasan:

Diketahui: a = 2, b = 5 - 2 = 3, n = 100

Ditanya: U100

Jawaban:

Un = a + (n - 1)b

a = 2

b = u2 - u1 = 5 - 2 = 3

U100 = a + (n - 1)b

U100 = 2 + (100 - 1)3

U100 = 2 + (99 x 3)

U100 = 299

Jadi, suku ke-100 dari pola bilangan di atas adalah 299.

(SFR)