Soal OSN Matematika SMA untuk Latihan Olimpiade

ilustrasi soal osn matematika sma. unsplash/iknowjustincase

Soal OSN Matematika SMA dapat dijadikan bahan latihan untuk mengasah kemampuan berpikir logis, analitis, dan pemecahan masalah.

Soal-soal pada Olimpiade Sains Nasional (OSN) umumnya memiliki tingkat kesulitan yang lebih tinggi dibandingkan soal di kelas sehingga memerlukan ketelitian serta penguasaan konsep matematika yang baik.

OSN merupakan ajang kompetisi sains bagi pelajar SD, SMP, dan SMA di Indonesia yang diselenggarakan oleh Pusat Prestasi Nasional. Sebelum berada di bawah naungan Pusat Prestasi Nasional, kompetisi ini dikenal sebagai Olimpiade Sains Nasional.

Contoh Soal OSN Matematika SMA dan Pembahasannya

ilustrasi soal osn matematika sma. unsplash/alissadeleva

Berikut beberapa contoh soal OSN Matematika SMA yang dapat digunakan sebagai latihan mandiri. Berdasarkan bank soal yang diunggah bpti.kemendikdasmen.go.id.

Carilah semua pasangan bilangan real positif a dan b yang memenuhi sistem persamaan berikut.
(√a + √6)=6
(√(a − 5) + √(b − 5)) = 4
Triplet bilangan bulat positif (a, b, c) dengan a < b < c disebut fatal jika terdapat tiga bilangan bulat tak nol p, q, r yang memenuhi persamaan:
aᵖ × bᵠ × cʳ = 1. Sebagai contoh, (2, 3, 12) adalah triplet fatal karena: 2² × 3¹ × 12⁻¹ = 1
Bilangan asli N disebut fatal jika terdapat triplet fatal (a, b, c) sehingga: N = a + b + c. Buktikan bahwa:
a. Bilangan 16 bukan bilangan fatal.
b. Semua bilangan yang bukan kelipatan 6 dan lebih besar dari 16 adalah bilangan fatal.
Diberikan segitiga ABC yang lingkaran luarnya berpusat di O dan ketiga garis tingginya berpotongan di H. Garis AH dan garis BH memotong lingkaran luar segitiga ABC masing-masing sekali lagi di titik D dan F. Misalkan A' dan B' berturut-turut menyatakan titik pusat lingkaran luar segitiga AHD dan lingkaran luar segitiga BHD. Jika A', B', O, dan H tidak segaris, buktikan bahwa garis OH melalui titik tengah ruas garis A'B'.
Kobar dan Borak bermain di papan tulis dengan aturan sebagai berikut: Mula-mula dituliskan dua bilangan asli yang berbeda di papan tulis. Pada setiap langkah, dimulai dari Kobar, masing-masing pemain secara bergiliran mengubah bilangan P dan Q menjadi salah satu pasangan 2P − Q dan 2Q − P atau dari P dan Q menjadi 5P − 4Q dan 5Q − 4P. Permainan berakhir apabila ada pemain yang menghasilkan bilangan negatif. Pemain tersebut dinyatakan kalah dan lawannya menjadi pemenang.
Pada awal permainan, bilangan yang tertulis di papan adalah 2024 dan A. Jika Kobar mendapat giliran pertama, tentukan nilai A terbesar yang memungkinkan Borak memenangkan permainan.
Seluruh bilangan bulat diwarnai dengan salah satu dari tiga warna, yaitu merah, biru, atau jingga. Setiap bilangan diberi tepat satu warna dan ketiga warna digunakan. Pewarnaan memenuhi aturan berikut.
- Penjumlahan sebuah bilangan merah dan sebuah bilangan jingga menghasilkan bilangan biru.
- Penjumlahan sebuah bilangan jingga dan sebuah bilangan biru menghasilkan bilangan jingga.
- Penjumlahan sebuah bilangan biru dan sebuah bilangan merah menghasilkan bilangan merah.
a. Buktikan bahwa 0 dan 1 pasti mempunyai warna yang berbeda.
b. Tentukan semua kemungkinan pewarnaan yang memenuhi ketiga aturan tersebut.
Diketahui bahwa ab dan cd adalah dua bilangan yang hasil kalinya adalah 555. Jika ab < cd, maka nilai dari a + b adalah ....
Misalkan f dan g adalah fungsi linear yang memenuhi persamaan: f(x + g(y)) = 7x + 4y + 12 untuk setiap bilangan real x dan y. Jika diketahui g(7) = 5, maka nilai dari: g(−12 + f(4)) adalah ....
Diberikan segitiga ABC dengan panjang sisi:
AB = 15
AC = 14
BC = 13
Diketahui terdapat sebuah segitiga sama sisi PQR dengan titik P, Q, dan R masing-masing terletak pada sisi BC, CA, dan AB, sehingga PQ sejajar dengan AB. Nilai PQ/AB dapat dinyatakan dalam bentuk: a / (b + c√d), dengan a, b, c, dan d adalah bilangan bulat positif, d tidak habis dibagi bilangan kuadrat yang lebih dari satu, serta FPB(a, b, c) = 1. Tentukan nilai dari: a + b + c + d...
Masing-masing petak pada papan berukuran 2025 × 3 akan diwarnai dengan warna hitam atau putih sehingga pada setiap subpapan berukuran 2 × 2 terdapat masing-masing sebanyak ganjil petak berwarna hitam dan ganjil petak berwarna putih. Misalkan banyaknya cara pewarnaan yang mungkin adalah A. Tentukan sisa A jika dibagi 1000...
Banyaknya bilangan asli a yang kurang dari 187 sehingga FPB(a, 187) = 1 dan a² − 1 bukan kelipatan dari 187 adalah ....

Latihan menggunakan soal OSN Matematika SMA dapat membantu meningkatkan kemampuan berpikir kritis, logis, dan sistematis.

Semakin sering mengerjakan soal dengan tingkat kesulitan olimpiade, semakin terbiasa pula dalam menganalisis persoalan serta menentukan strategi penyelesaian yang tepat saat mengikuti kompetisi. (Rahma)