10 Pembuktian Sifat Logaritma pada Matematika

Ilustrasi pembuktian sifat logaritma. Sumber: Pexels/Monstera Production

Pembuktian sifat logaritma dapat ditemukan dalam pelajaran Matematika kelas 10 SMA. Sifat logaritma ini digunakan sebagai acuan seseorang dalam mengoperasikannya pada penjumlahan, pengurangan, perkalian, maupun pembagian.

Pada dasarnya logaritma adalah invers atau kebalikan dari bentuk perpangkatan atau yang umum dikenal sebagai eksponen. Sehingga ketika mencari nilai logaritma maka artinya mencari pangkat dari suatu bilagan pokok sehingga hasilnya sesuai dengan yang diketahui.

Pembuktian Sifat Logaritma

Ilustrasi pembuktian sifat logaritma. Sumber: Pexels/Cottonbro Studio

Dalam mengoperasikan logaritma, seseorang harus mengetahui sifat dari logaritma itu sendiri. Dalam buku Mari Memahami Konsep Matematika untuk Kelas IX SMP/MTs oleh Wahyudin Djumanta (2005:177) dengan menggunakan siat-sifat logaritma seseorang dapat menentukan logaritma bilangan yang kurang dari 1 dan atau lebih dari 10.

Adapun sifat-sifat logaritma beserta pembuktian sifat logaritma di antaranya sebagai berikut.

1. Perkalian Logaritma (Sifat 1)

Sifat: (a)log (b × c) = (a)log b + (a)log c

Pembuktian sifat 1 logaritma

Misalkan:

(a)log b = n maka a^n = b

(a)log c = m maka a^m = c

b × c = a^n × a^m

Dengan menggunakan sifat operasi hitung bilangan berpangkat diperoleh:

b × c = a^(n + m)

Sehingga:

(a)log (b × c) = n + m, karena n = (a)log b dan m = (a)log c maka

(a)log (b × c) = (a)log b + (a)log c

2. Pembagian Logaritma (Sifat 2)

Sifat: (a)log (b/c) = (a)log b − (a)log c

Pembuktian sifat 2 logaritma

Misalkan:

(a)log b = n maka a^n = b

(a)log c = m maka a^m = c

b/c = an /am

dengan menggunakan sifat operasi hitung bilangan berpangkat diperoleh:

b/c = a^(n − m)

Sehingga:

(a)log (b/c) = n − m, karena n = (a)log b dan m = (a)log c maka

(a)log (b/c) = (a)log b − (a)log c

3. Perpangkatan Logaritma (Sifat 3)

Sifat: (a)log b^n = n × (a)log b

Pembuktian sifat 3 logaritma

Dari sifat 1 logaritma:

(a)log b + (a)log b = (a)log (b × b)

2 (a)log b = (a)log b^2

Dengan cara yang sama:

(a)log b^2 + (a)log b = (a)log (b^2 × b)

2 (a)log b + (a)log b = (a)log b^3

3 (a)log b = (a)log b^3

Dengan demikian dapat disimpulkan:

n (a)log b = (a)log b^n atau (a)log b^n = n × (a)log b

4. Pengubahan Bilangan Pokok Logaritma 1 (Sifat 4)

Sifat: (a)log b = (n)log b/(n)log a

Pembuktian sifat 4 logaritma

Misalkan:

(a)log b = m maka b = a^m

(n)log b = (n)log a^m

(n)log b = m × (n)log a

m = (n)log b/ (n)log a

(a)log b = (n)log b/ (n)log a

5. Pengubahan Bilangan Pokok Logaritma 2 (Sifat 5)

(a)log b = 1/(b)log a

Pembuktian sifat 5 logaritma

Sifat logaritma yang ke-5 ini adalah sifat logaritma ke-4 dengan n = b.

(a)log b = (n)log b/(n)log a

(a)log b = (b)log b/ (b)log a

(a)log b = 1/ (b)log a

6. Perluasan Sifat Perkalian Logaritma (Sifat 6)

Sifat: (a)log b × (b)log c = (a)log c

Pembuktian sifat 6 logaritma

Dengan menggunakan sifat logaritma nomor 4 di atas maka:

(a)log b = (n)log b/(n)log a

(b)log c = (n)log c/(n)log b

sehingga:

(a)log b × (b)log c = {(n)log b/(n)log a} × {(n)log c/(n)log b}

(a)log b × (b)log c = (n)log c/ (n)log a

(a)log b × (b)log c = (a)log c

7. Perluasan Sifat Perpangkatan Logaritma 1 (Sifat 7)

Sifat: (an)log b^m = m/n × (a)log b

Pembuktian sifat 7 logaritma

Misalkan:

(an)log b^m = c maka (an)c = bm

(a^n)^c = b^m

a^(n×c) = b^m

b = (m)√(a^nc)

b = a^(nc/m) (bentuk pangkat ini diubah menjadi bentuk logaritma)

(a)log b = nc/m (ruas kanan dan kiri dikalikan m/n)

m/n × (a)log b = c

m/n × (a)log b = (an)log b^m

8. Perluasan Sifat Perpangkatan Logaritma 2 (Sifat 8)

Sifat: (an)log b^n = (a)log b

Pembuktian sifat 8 logaritma

Dengan menggunakan sifat 7 logaritma, sifat 8 ini sudah terbukti dengan jelas jadi tidak perlu diuraikan pembuktiannya.

9. Perluasan dari Bentuk Umum Logaritma (Sifat 9)

Sifat: a^(a)log b = b

Pembuktian sifat 9 logaritma

Misalkan:

(a)log b = c maka a^c = b

Sehingga:

a^(a)log b = a^c = b

a^(a)log b = b

10. Invers Pembagian Logaritma (Sifat 10)

SIfat: (a)log (b/c) = −(a)log (c/b)

Pembuktian sifat 10 logaritma

Sifat 10 logaritma dapat dibuktikan dengan menggunakan sifat 2 logaritma, pembuktiannya adalah:

(a)log (b/c) = (a)log b − (a)log c

(a)log (b/c) = − {(a)log c − (a)log b}

(a)log (b/c) = − {(a)log (c/b)}

(a)log (b/c) = − (a)log (c/b)

Itu tadi 10 pembuktian sifat logaritma pada Matematika yang dapat pembaca ketahui. Semoga dapat menambah bermanfaat. (MRZ)