2 Contoh Soal Deret Fourier dan Penyelesaiannya

Ilustrasi contoh soal deret fourier. Sumber: pexels.com/Jeswin.

Contoh soal deret fourier diperlukan siswa atau mahasiswa yang berminat dengan bidang matematika dan IPA atau MIPA. Banyak soal fisika yang berupa hitungan sehingga harus dikerjakan dengan cara matematika.

Dengan demikian, deret fourier dapat berfungsi sebagai alat bantu untuk mengerjakan soal-soal fisika. Dalam sains, antar ilmu sering kali saling berkaitan.

Contoh Soal Deret Fourier dan Jawabannya

Ilustrasi contoh soal deret fourier. Sumber: pexels.com/IanPanelo.

Deret fourier adalah alat bantu dalam matematika dan fisika yang sering digunakan untuk memisahkan sebuah fungsi periodik menjadi himpunan gelombang sinus dan cosinus. Deret fourier dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan gelombang satu dimensi.

Berikut adalah contoh soal deret fourier, yang dikutip dari Matematika untuk Fisika 2, Abdul Hamid (2020).

Contoh Soal 1

Soal:

Uraikan fungsi f(x) = x, 0<x<2 dalam deret fourier sinus.

Penyelesaian:

Karena fungsinya adalah fungsi ganjil, maka yang dicari hanyalah bn.

bn = 2/Lᴸꭍ₀ f(x) sin nπx/L dx = 2/2 ²ꭍ₀ x sin nπx/2 dx (gunakan integral parsial) sehingga diperoleh = -2x/nπ cos nπx/2 - -4/n²π² sin nπx/2 |²₀ = -4/nπ cos nπ,

Maka deret fourier sinusnya adalah:

f(x) = ∞∑n₋₁ -4/nπ cosnπ sin nπx/2 atau

f(x) = 4/4 (sin πx/2 – ½ sin 2πx/2 + 1/3 sin 3πx/2 – ¼ sin 4πx/2 + …).

Contoh Soal 2

Soal:

Diketahui sebuah fungsi yang didefinisikan pada setengah daerah f(x) = ꭍx, 0<x<1

ʅ1, 1<x<2

nyatakan fungsi ini dalam deret fourier fungsi cosinus dalam fungsi genap.

Penyelesaian:

Pernyataan fungsi dalam deret fourier cosinus (fungsi genap).

Untuk membentuk fungsi genap, maka selang dasar (0<x<2) di atas diperluas ke selang negatif menjadi (-2<x<2), dan fungsi f(x) diperluas menjadi fungsi periodik genap {f(-x) = f(x)} dengan periode T = 2L = 4 (karena L = 2).

Untuk fungsi genap ini, bn = 0, a₀ dan an dapat ditentukan sebagai berikut:

a₀ = 2/L ᴸꭍ₀ f(x)dx = 2/2{¹ꭍ₀ xdx + ²ꭍ₁ (1)dx} = {1/2 x²|¹₀ + x|²₁} = 3/2

an = 2/L ᴸꭍ₀ f(x) cos nπx/L dx = 2/2{¹ꭍ₀ xcos nπx/2 dx + ²ꭍ₁ (1)cos nπx/2 dx + ²ꭍ₁ (1)cos nπx/2 dx}

an = {x 2/nπ sin nπx/2 + 4/(nπ)² cos nπx/2}|¹₀ + {2/nπ sin nπx/2}|²₁

an = 4/(nπ)² (cos nπx/2 -1)

a₁ = -4/π²; a₂ = -2/π²; a₃ = -4/9π², dan seterusnya.

Maka diperoleh pernyataan deret fourier cosinus untuk f(x), sebagai berikut:

f(x) = a₀/2 + ∞∑n₌₁ an cos nπx/L, bn = 0

f(x) = ¾ - 4/π²{1/1 cos πx/2 + ½ cos 2πx/2 + 1/9 cos 3πx/2 + …}

Contoh soal deret fourier terlihat singkat tapi penyelesaiannya panjang sehingga diperlukan ketelitian yang tinggi. (lus)

Baca juga: 3 Contoh Soal Rangkaian Paralel dan Rumusnya dalam Fisika