5 Contoh Soal Persamaan Diferensial Matematika beserta Pembahasannya

Ilustrasi contoh soal persamaan diferensial. Sumber: Pexels/Nothing Ahead

Mengetahui contoh soal persamaan diferensial beserta pembahasannya dapat memudahkan siswa memahami konsep dasar materi Matematika ini. Karena persamaan ini tidak selalu dapat diselesaikan melalui satu formula tunggal.

Persamaan diferensial adalah persamaan yang mengandung setidaknya satu turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui. Persamaan ini terbagi menjadi dua jenis yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial.

Contoh Soal Persamaan Diferensial Matematika

Ilustrasi contoh soal persamaan diferensial. Sumber: Pexels/Jeswin Thomas

Dikutip dalam buku Pemodelan Matematika oleh Meksianis Z. Ndii (2022:31) persamaan diferensial merupakan relasi antara suatu fungsi dalam waktu dan turunannya. Dengan kata lain suatu fungsi yang meliputi satu variabel yang tidak diketahui dan datu atau lebih turunan disebut sebagai persamaan diferensial.

Agar lebih mengatahui materi ini simak lima contoh soal persamaan diferensial berikut ini yang telah dilengkapi dengan pembahasannya.

Contoh 1

Tentukan solusi persamaan diferensial y’+y=3!

Pembahasan:

• y’+y= 3

• x(dy/dx)= 3-y

Kalikan kedua rusa dengan dx/x(3-y) sehingga diperoleh:

• 1/3-y dy= 1/x dx

Integrasikan kedua ruas terhadap variabel yang sesuai, diperoleh:

• ∫(1/3-y) dy= ∫ (1/x) dx

• -ln (3-y)= ln x+ln C = ln Cx

• ln (3-y)^-1= ln Cx

• (3-y)^-1 = Cx

Jadi, solusi persamaan diferensial y’+y=3 adalah (3-y)^-1 = Cx

Contoh 2

Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial y^2(y+1) dx + y^2(y-1)dy= 0

Pembahasan:

• y^2(y+1)dx + y^2(y-1)dy= 0

• y^2 (y+1)(x-1)

Persamaan baru yang setara dengannya yaitu:

• (1/x-1)dx + (1/y+1)dy= 0

Integralkan kedua ruas, sehingga didapatkan:

• ∫(1/x-1)dx + ∫(1/y+1)dy= ln|C|

• ln|x1|+ ln|y+1|= ln|C|

• ln|(x-1)(y+1)|= ln|C|

• ln|(x-1)(y+1)|= ln|C|

• (x-1)(y+1)=C

Jadi solusi umum dari persamaan diferensial y^2(y+1) dx + y^2(y-1)dy= 0 adalah (x-1)(y+1)=C

Contoh 3

Tentukan penyelesaian persamaan diferensial y’= sinx

Pembahasan:

• y’= sin x

• y’ = dy/dx

Sehingga:

• dy/dx= sin x

• dy= sin xdx

• ∫dy= ∫sin xdx

• y= −cos x + c

Contoh 4

Apakah fungsi y= ce^x, c= konstanta merupakan penyelesaian persamaan diferensial y'- y= 0 ?

Pembahasan:

y= ce^x ⇒ y’= ce^x, sehingga

y’–y = ce^x - ce^x= 0

Jadi, fungsi y=ce^x merupakan penyelesaian persamaan diferensial y'-y 0 = (dalam pengertian penyelesaian umum, karena konstanta c sebarang).

Contoh 5

Tentukan apakah y(x)= 1 merupakan solusi dari y’’+2y’+y= x?

Pembahasan:

• Dari y(x)= 1 diperoleh y’(x)= 0 dan y’’(x)=0

Dengan memasukkan nilai-nilai ke dalam persamaan diferensial yang dimaksud, maka diperoleh:

• y’’+2y’+y= 0+ 2(0) + 1 =1 ≠ x

Jadi, fungsi y(x)=1 merupakan solusi persamaan diferensial dari y’’+2y’+y= x.

Itu tadi contoh soal persamaan diferensial Matematika beserta pembahasannya. Semoga bermanfaat. (MRZ)

Baca juga: 3 Contoh Soal Parabola Matematika beserta Pembahasannya