Contoh Soal Penjumlahan Vektor dan Penyelesaiannya

Ilustrasi contoh soal penjumlahan vektor. Foto: Unsplash

Dalam kehidupan sehari-hari, banyak peristiwa yang berkaitan dengan besaran vektor. Vektor adalah jenis besaran fisika yang mempunyai nilai dan arah.

Besaran vektor biasanya digambarkan dengan bentuk panah. Panjang anak panah mewakili besar atau nilai vektor, sedangkan arah anak panah mewakili arah vektor. Vektor umumnya juga terdiri atas bagian-bagian yang mewakili untuk setiap dimensi.

Mengutip Top Book Soal Matematika IPA (Fisika, Kimia, Biologi) SMA Kelas XII oleh Muslihun, dkk. (2015: 60), dalam menyatakan besarannya, nilai vektor harus diikuti dengan arahnya. Contohnya, kecepatan mobil 20 km/jam ke timur, mobil berpindah sejauh 400 meter ke kanan, Andi menarik mobil-mobilan dengan gaya 2 N ke kanan, dan lain sebagainya.

Cara penulisannya pun harus dibedakan dengan besaran bukan vektor. Biasanya, notasi atau simbol sebuah vektor dapat menggunakan satu atau dua huruf dengan tanda panah di atasnya.

Namun, notasi vektor juga dapat dituliskan dengan huruf cetak tebal, cetak miring, dan atau huruf kapital, misalnya A atau B. Berikut contoh penulisan besaran vektor lainnya.

Jelaskan Apa yang Dimaksud dengan Penjumlahan Dua Vektor?

Ilustrasi contoh soal penjumlahan vektor. Foto: Unsplash

Dalam penerapan fisika, dua vektor atau lebih dapat digabungkan melalui proses penjumlahan untuk membentuk vektor baru. Proses penjumlahan dua vektor atau lebih tersebut dapat dilakukan dengan menjumlahkan komponen-komponen vektor pada arah yang sama.

Mengutip Buku Siswa Fisika untuk SMA/MA Kelas X oleh Suprihanto dan Winarso (2019: 41-43), hasil penjumlahan dua vektor atau lebih disebut vektor resultan. Ada dua metode penjumlahan vektor, yaitu metode grafis dan metode analitis. Berikut penjelasannya.

1. Metode Grafis

Metode grafis atau dikenal juga sebagai metode geometris adalah metode penjumlahan dua vektor atau lebih dengan cara menggambar vektor-vektor tersebut secara berurutan dan mengukur vektor resultannya (bukan dengan rumus). Metode ini terbagi lagi menjadi dua, yaitu:

Metode poligon adalah metode yang menjumlahkan vektor-vektor dengan cara menghubungkan dan menempatkan pangkal dari vektor kedua pada ujung vektor pertama. Kemudian dilanjutkan menempatkan pangkal dari vektor ketiga pada ujung vektor kedua, dan seterusnya, secara sejajar dan sama dengan vektor yang ditempatkan.

Setelah itu, tarik garis dari pangkal vektor pertama ke ujung vektor terakhir untuk memperoleh hasil penjumlahan atau vektor resultan. Lebih jelasnya, perhatikan gambar berikut.

Contoh Vektor dengan Metode Poligon. Foto: Buku Siswa Fisika untuk SMA/MA Kelas X

Tiga buah vektor di atas, yaitu vektor A, vektor B, dan vektor C apabila dijumlahkan akan menghasilkan vektor resultan D. Tahapan menjumlahkan vektor-vektor A, B, dan C adalah sebagai berikut.

Jadi, hasil penjumlahan vektor A + B + C yang menghasilkan vektor resultan D dapat dituliskan sebagai berikut.

D = A + B + C

Metode jajar genjang hanya digunakan untuk menjumlahkan dua buah vektor saja. Pada metode ini, kedua vektor digambarkan berasal dari satu titik yang sama dan dibuat sebuah jajarg enjang dengan menggunakan kedua vektor sebagai sisi-sisi yang bersambungan. Lebih jelasnya, perhatikan gambar berikut.

Contoh Vektor dengan Metode Jajar Genjang. Foto: Buku Siswa Fisika untuk SMA/MA Kelas X

Tahapan melukiskan penjumlahan dua buah vektor di atas dengan metode jajar genjang adalah sebagai berikut.

3. Metode Analitis

Metode analitis adalah cara untuk menentukan vektor resultan dengan menggunakan rumus. Adapun rumus yang digunakan merupakan rumus kosinus (cos) untuk menentukan besar resultan vektor dan rumus sinus (sin) untuk menentukan arah vektor resultan. Lebih jelasnya, perhatikan gambar berikut.

Contoh Vektor S pada Bidang XY. Foto: Buku Siswa Fisika untuk SMA/MA Kelas X

Sebuah vektor perpindahan S (vektor resultan) yang berada pada bidang XY dapat diuraikan menjadi dua vektor yang saling tegak lurus, yaitu komponen pada sumbu X, yakni Sx, dan komponen pada sumbu Y, yakni Sy.

Jika sudut antara vektor S dengan sumbu X positif adalah α, maka besar komponen-komponen Sx dan Sy dapat diperoleh dengan:

Besar S atau vektor resultannya dapat dihitung dengan menggunakan teorema Phytagoras sebagai berikut.

Sudut α dapat dicari dengan persamaan sebagai berikut.

Bagaimana Cara Penjumlahan Vektor?

Seperti yang telah diuraikan sebelumnya, penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan metode grafis dan metode analitis. Supaya memahami lebih jelas, perhatikan contoh cara penjumlahan vektor berikut.

Contoh Cara Penjumlahan Vektor. Foto: Situs Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Teknologi

Diketahui dua buah vektor gaya F1 = 20 N dan F2 = 16 N dengan arah sesuai yang ditunjukkan seperti pada gambar di atas. Berapa besar vektor resultan dari kedua vektor tersebut?

Penyelesaian:

Jumlah komponen-komponen gaya ke arah sumbu x:

Rx = F1 cos α - F2 cos α

= F1 cos 30° - F2 cos 60°

= 20 x 0,87 - 16 x 0,50

= 17,4 - 8,0 = 9,4 N

Jumlah komponen-komponen gaya ke arah sumbu y:

Ry = F1 sin α + F2 sin α

= F1 sin 30° + F2 sin 60°

= 20 x 0,5 + 16 x 0,87

= 10,0 + 13,92 = 23,92 N

Nilai vektor resultannya:

R = √(Rx² + Ry²)

R = √((9,4)² + (23,92)²)

R = √(88,36 + 572,17)

R = √(660,53)

R = 25,7 N

Jadi, hasil penjumlahan atau vektor resultan tersebut adalah 25,7 N.

Bagaimana Cara Menentukan Resultan Vektor?

Seperti yang diketahui, hasil penjumlahan dua vektor merupakan resultan vektor. Ada dua cara yang dapat digunakan untuk menentukan resultan vektor, yaitu metode grafis dan metode analitis.

Ketika menggunakan metode grafis, penggambaran vektor harus sesuai dengan skala sebenarnya. Arah vektor sesuai dengan arah anak panah vektor dan besar vektor harus sesuai dengan panjangnya.

Sebagai contoh, perhatikan contoh soal penjumlahan vektor metode jajar genjang seperti yang dikutip dari buku Vektor oleh Retno Damayanti (2021: 8-9) di bawah ini.

Contoh Vektor a dan Vektor b. Foto: Buku Vektor oleh Retno Damayanti

Tentukan resultan dari vektor-vektor seperti gambar di atas.

Pembahasan:

Contoh Resultan Vektor a + b = c. Buku Vektor oleh Retno Damayanti

Untuk menentukan resultan vektor a dan b dapat menggunakan metode jajargenjang. Pindahkan vektor b sehingga pangkal dari b berimpit dengan pangkal vektor a, sehingga menghasilkan vektor resultan c.

Contoh Soal Penjumlahan Vektor

Ilustrasi mengerjakan soal penjumlahan vektor. Foto: Unsplash

Dalam fisika, besaran vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan memiliki arah. Dikutip dari Pelajaran Fisika untuk SMA/MA oleh Pristiadi Utomo (2007), selain kecepatan, yang termasuk besaran vektor adalah perpindahan, kecepatan, percepatan, dan lain sebagainya. Berikut contoh soal penjumlahan vektor matematika.

Dua buah vektor dinyatakan sebagai berikut.

Jika kedua vektor dijumlahkan, maka berapa besar kuadrat vektor resultannya?

Pembahasan:

Diketahui:

A = 2i - 4j + k

B = 3i + 2j - 3k

Ditanyakan: Besar Kuadrat Resultan

Jawab:

C = (2i-4j+k)+(3i+2j-3k)

= 51-2j-2k

|C| = √(5² + 2² + 2²)

= √(25 + 4 + 4)

= √(34)

|C|² = √(34) = 34

Jadi, besar kuadrat vektor resultannya adalah 34.

Perlu dicatat, contoh soal penjumlahan vektor memang tidak bisa disamakan cara hitungnya. Operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, maupun pembagian vektor harus menggunakan cara yang khusus. Selain itu, cara hitungnya bisa bervariasi, tergantung dari jenis soal.

(DNR & SFR)