20 Contoh Soal Fungsi Kuadrat dan Penjelasannya

Ilustrasi Contoh Soal Fungsi Kuadrat. Unsplash/Jeswin Thomas

Contoh soal fungsi kuadrat adalah materi matematika yang dipelajari oleh siswa, baik di jenjang SMP hingga SMA.

Berdasarkan buku Ensiklopedia Rumus Matetika SMA Kelas 1,2,3", karya Basyit Badriah, Esa Anggara (2016: 21), fungsi kuadrat berfungsi untuk membuat variabel pangkat tertinggi menjadi sama dengan atau fungsi f pada x melalui sebuah persamaan.

Apa itu Fungsi Kuadrat dan Kegunaannya di Kehidupan Sehari-hari?

Ilustrasi Contoh Soal Fungsi Kuadrat. Unsplash/Artturi Jalli

Fungsi kuadrat adalah suatu pola hubungan matematis yang dapat dijelaskan oleh rumus umum (f(x) = ax^2 + bx + c).

Di mana (a), (b), dan (c) adalah konstanta, dan (x) adalah variabel. Grafik fungsi kuadrat memiliki bentuk parabola, yang bisa membuka ke atas atau ke bawah tergantung pada nilai (a). Kegunaan fungsi kuadrat melibatkan berbagai bidang seperti fisika, ekonomi, dan teknik.

Dalam konteks sederhana, fungsi ini menggambarkan pola pertumbuhan atau penurunan yang digunakan untuk memodelkan berbagai fenomena.

Di bidang fisika, grafik fungsi kuadrat dapat menggambarkan pergerakan benda yang terpengaruh oleh gravitasi atau gaya lainnya.

Kemudian di ekonomi, fungsi kuadrat dapat mewakili hubungan antara variabel seperti biaya atau pendapatan dengan tingkat produksi atau penjualan.

Selain itu, dalam teknik, fungsi kuadrat sering digunakan untuk mengoptimalkan desain atau memodelkan fenomena alam yang kompleks.

20 Contoh Soal Fungsi Kuadrat

Ilustrasi Contoh Soal Fungsi Kuadrat. Unsplash/Jeswin Thomas

Untuk lebih memahami materi contoh soal fungsi kuadrat, perhatikan beberapa soal di bawah ini:

1. Soal I

Tentukan nilai x dari (2x-5)(4x+1) = 0.

Penyelesaian:

Gunakan sifat pada sistem bilangan real berikut:

a.b = 0, dengan a, b ∈ ℝ hanya dipenuhi a=0 atau b=0.

Sehingga:

(2x-5)(4x+1) = 0

(2x-5) = 0 atau (4x+1) = 0

x = 5/2 atau x = -1/4

Jadi, nilai x adalah x = 5/2 dan x = -1/4.

2. Contoh II

Tentukan nilai x dari (3x+1)(2x-7) = 0

Penyelesaian:

Gunakan sifat pada sistem bilangan real berikut

a.b = 0, dengan a, b ∈ ℝ hanya dipenuhi a=0 atau b=0

Sehingga,

(3x+1)(2x-7) = 0

(3x+1) = 0 atau (2x-7) = 0

x = -1/3 atau x = 7/2

Jadi, nilai x adalah x = -1/3 dan x = 7/2.

3. Contoh III

Tentukan nilai akar lainnya dari persamaan 3x²-2x-8 = 0, jika salah satu nilai akarnya adalah 2.

Penyelesaian:

3x²-2x-8 = 0

Jika x = 2,

3(2)² - 2(2) - 8 = 0

12 - 4 - 8 = 0

0 = 0 (terpenuhi)

Sehingga, satu akar persamaan adalah x = 2.

Dengan menyelesaikan persamaan kuadrat dengan rumus kuadratik,

D = b² - 4ac = (-2)² - 4(3)(-8) = 4 + 96 = 100

Maka, akar lainnya dapat dihitung menggunakan rumus kuadratik:

x = [-b ± √(D)] / (2a)

x = [2 ± √100] / (2 × 3)

x = [2 ± 10] / 6

Sehingga, nilai akar lainnya adalah x = 2/3 dan x = -4/3.

4. Conroh Soal IV

Tentukan persamaan kuadratnya adalah 3x² - bx + 8 dan salah satu akarnya adalah = 2

Penyelesaian:

Substitusikan x 2 ke dalam persamaan kuadrat: 3(2)² - b(2) + 8 = 0

Sehingga, 12 -2b + 8 = 0

Simplifikasi menjadi 20 - 2b = 0, dan hasilnya b = 10

Persamaan kuadrat menjadi 3x² 10x +8 = 0

Faktorkan persamaan: (3x - 2)(x 4) = 0

Akar-akarnya adalah x1 = 2/3 dandan x2 = 4.

Jadi, nilai akar lain dari persamaan 3x² 2 10x + 8 = 0 adalah 2/3

5. Contoh Soal V

Tentukan nilai a, b, dan c pada persamaan kuadrat 3(4y²-2y)-12-2y

Penyelesaian:

3(4y²-2y) = 12-2y

12y² - 6y = 12 - 2y

12y² + 2y - 12 = 0

Jadi nilai a = 12, b = 2, dan c = -12.

6. Contoh Soal VI

Tentukan nilai a, b, dan c pada persamaan kuadrat 3(2x²-4x)-9-5x

Penyelesaian:

3(2x²-4x) = 9-5x

6x² - 12x = 9 - 5x

6x² + 5x - 9 = 0

Jadi nilai a = 6, b = 5, dan c = -9.

7. Contoh Soal VII

Tentukan nilai a, b, dan c pada persamaan kuadrat 2(5z²-3z)-10-4z

Penyelesaian:

2(5z²-3z) = 10-4z

10z² - 6z = 10 - 4z

10z² + 4z - 10 = 0

Jadi nilai a = 10, b = 4, dan c = -10.

8. Contoh Soal VIII

Tentukan nilai a, b, dan c pada persamaan kuadrat 4(2y²-3y)-16-2y

Penyelesaian:

4(2y²-3y) = 16-2y

8y² - 12y = 16 - 2y

8y² + 2y - 16 = 0

Jadi nilai a = 8, b = 2, dan c = -16.

9. Contoh Soal IX

Tentukan nilai maksimum dari fungsi kuadrat y= bx2 + 4x + (b+2) dengan sumbu simetri x = -2.

Penyelesaian:

y = bx² + 4x + (b + 2)

Sumbu simetri Xe

= -b/-2a = -2

= -2 = -4/-2b

b = 1

y = bx² + 4x + (b + 2)

y = x² + 4x + 3

Nilai maksimum:

ye = f(xe) = f(- 2)

ye = (- 2)² + 4(- 2) + 3 = 1

Jadi, nilai maksim, mnya adalah 1.

10. Contoh Soal X

Tentukan nilai y dari (3y + 2)(y - 1) = 0.

Penyelesaian:

Gunakan sifat pada sistem bilangan real berikut:

a.b = 0, dengan a, b ∈ ℝ hanya dipenuhi a=0 atau b=0.

Sehingga:

(3y + 2)(y - 1) = 0

(3y + 2) = 0 atau (y - 1) = 0

y = -2/3 atau y = 1

Jadi nilai y adalah y = -2/3 dan x = 1

11. Contoh Soal XI

Tentukan nilai z dari (z + 3)(2z - 4) = 0.

Penyelesaian:

Gunakan sifat pada sistem bilangan real berikut:

a.b = 0, dengan a, b ∈ ℝ hanya dipenuhi a=0 atau b=0.

Sehingga:

(z + 3)(2z - 4) = 0

(z + 3) = 0 atau (2z - 4) = 0

z = -3 atau z = 2

Jadi, nilai z adalah z = -3 dan z = 2

12. Contoh Soal XII

Hitunglah nilai q dari persamaan 2y² + (3y - q)y + (q + 4) = 0 yang akarnya saling berkebalikan.

Penyelesaian:

2y² + (3y - q)y + (q + 4) = 0

Ingat! Akarnya saling berkebalikan, maka:

y₁ = 1/y₂ atau y₁.y₂ = 1

y₁.y₂ = 1 ⟶ (q + 4) / 2 = 1

q + 4 = 2

q = -2

Jadi, nilai konstan q adalah -2

13. Contoh Soal XIII

Hitunglah nilai s dari persamaan 3w² + (2w + s)w + (s - 8) = 0 yang akarnya saling berkebalikan.

Penyelesaian:

3w² + (2w + s)w + (s - 8) = 0

Ingat! Akarnya saling berkebalikan, maka:

w₁ = 1/w₂ atau w₁.w₂ = 1

w₁.w₂ = 1 ⟶ (s - 8) / 3 = 1

s - 8 = 3

s = 11

Jadi, nilai konstan s adalah 11.

14. Contoh Soal XIV

Hitunglah nilai k dari persamaan 2x² + (3x + k)x + (k - 5) = 0 yang akarnya saling berkebalikan.

Penyelesaian:

2x² + (3x + k)x + (k - 5) = 0

Ingat! Akarnya saling berkebalikan, maka:

x₁ = 1/x₂ atau x₁.x₂ = 1

x₁.x₂ = 1 ⟶ (k - 5) / 2 = 1

k - 5 = 2

k = 7

Jadi, nilai konstan k adalah 7.

15. Contoh Soal XV

Tentukan nilai p, q, dan r pada persamaan kuadrat 3(4w² - 2w) - 12 - 2w.

Penyelesaian:

3(4w² - 2w) = 12 - 2w

12w² - 6w = 12 - 2w

12w² + 2w - 12 = 0

Jadi, nilai p = 12, q = 2, dan r = -12.

16. Contoh Soal XVI

Tentukan nilai m, n, dan p pada persamaan kuadrat 2(3x² - 4x) - 6 - 5x.

Penyelesaian:

2(3x² - 4x) = 6 - 5x

6x² - 8x = 6 - 5x

6x² + 5x - 6 = 0

Jadi, nilai m = 6, n = 5, dan p = -6.

17. Contoh Soal XVII

Tentukan nilai d, e, dan f pada persamaan kuadrat 4(2y² - 3y) - 8 - y.

Penyelesaian:

4(2y² - 3y) = 8 - y

8y² - 12y = 8 - y

8y² + y - 8 = 0

Jadi, nilai d = 8, e = 1, dan f = -8.

17. Contoh Soal XVII

Tentukan nilai akar lainnya dari persamaan kuadrat 2y² + 5y - 12 = 0, jika salah satu nilai akarnya adalah -3.

Penyelesaian:

2y² + 5y - 12 = 0

Jika y = -3,

2(-3)² + 5(-3) - 12 = 0

18 - 15 - 12 = 0

0 = 0 (terpenuhi)

Sehingga, satu akar persamaan adalah y = -3.

Dengan menyelesaikan persamaan kuadrat dengan rumus kuadratik,

D = b² - 4ac = (5)² - 4(2)(-12) = 25 + 96 = 121

Maka, akar lainnya dapat dihitung menggunakan rumus kuadratik:

y = [-b ± √(D)] / (2a)

y = [-5 ± √121] / (2 × 2)

y = [-5 ± 11] / 4

Sehingga, nilai akar lainnya adalah y = 1 dan y = -4.

18. Contoh Soal XVIII

Tentukan nilai akar lainnya dari persamaan kuadrat 3z² - 4z - 7 = 0, jika salah satu nilai akarnya adalah 1.

Penyelesaian:

3z² - 4z - 7 = 0

Jika z = 1,

3(1)² - 4(1) - 7 = 0

3 - 4 - 7 = 0

0 = 0 (terpenuhi)

Sehingga, satu akar persamaan adalah z = 1.

Dengan menyelesaikan persamaan kuadrat dengan rumus kuadratik,

D = b² - 4ac = (-4)² - 4(3)(-7) = 16 + 84 = 100

Maka, akar lainnya dapat dihitung menggunakan rumus kuadratik:

z = [-b ± √(D)] / (2a)

z = [4 ± √100] / (2 × 3)

z = [4 ± 10] / 6

Sehingga, nilai akar lainnya adalah z = 2/3 dan z = -3.

19. Contoh Soal XIX

Tentukan nilai akar lainnya dari persamaan kuadrat 2w² + 3w - 5 = 0, jika salah satu nilai akarnya adalah -1.

Penyelesaian:

2w² + 3w - 5 = 0

Jika w = -1,

2(-1)² + 3(-1) - 5 = 0

2 - 3 - 5 = 0

0 = 0 (terpenuhi)

Sehingga, satu akar persamaan adalah w = -1.

Dengan menyelesaikan persamaan kuadrat dengan rumus kuadratik,

D = b² - 4ac = (3)² - 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49

Maka, akar lainnya dapat dihitung menggunakan rumus kuadratik:

w = [-b ± √(D)] / (2a)

w = [-3 ± √49] / (2 × 2)

w = [-3 ± 7] / 4

Sehingga, nilai akar lainnya adalah w = 1 dan w = -5/2.

20. Contoh Soal XX

Tentukan nilai akar lainnya dari persamaan kuadrat 4x² - 6x - 9 = 0, jika salah satu nilai akarnya adalah 3.

Penyelesaian:

4x² - 6x - 9 = 0

Jika x = 3,

4(3)² - 6(3) - 9 = 0

36 - 18 - 9 = 0

9 = 9 (terpenuhi)

Sehingga, satu akar persamaan adalah x = 3.

Dengan menyelesaikan persamaan kuadrat dengan rumus kuadratik,

D = b² - 4ac = (-6)² - 4(4)(-9) = 36 + 144 = 180

Maka, akar lainnya dapat dihitung menggunakan rumus kuadratik:

x = [-b ± √(D)] / (2a)

x = [6 ± √180] / (2 × 4)

x = [6 ± 6√5] / 8

Sehingga, nilai akar lainnya adalah x = (3 + 3√5) / 4 dan x = (3 - 3√5) / 4.

Itulah deretan contoh soal fungsi kuadrat yang dapat digunakan untuk mendalami pehaman mengenai materi matematika yang sering keluar ini. Disarankan untuk terus berlatih dengan soal-soal lainnya. (Andi)

Baca juga: Rumus Tinggi Tabung: Penjelasan dan Contoh Soalnya