Barisan dan Deret Aritmatika: Pengertian, Rumus, dan Contoh Soal

Pengertian barisan dan deret aritmatika. Foto: Unsplash

Dalam matematika, terdapat istilah barisan dan deret yang bisa ditemui ketika mempelajari materi aritmatika. Barisan dan deret ini tidak bisa dipisahkan karena memiliki keterkaitan satu sama lainnya.

Sederhananya, barisan artimatika adalah bilangan dengan pola yang tetap berdasarkan operasi penjumlahan dan pengurangan. Sementara deret aritmatika adalah jumlah n suku pertama barisan aritmatika.

Untuk mengenal lebih jauh tentang barisan dan deret aritmatika, simak informasinya pada artikel di bawah ini, ya.

Pengertian Barisan Aritmatika

Ilustrasi Matematika. Foto: Rawpixel.com/Shutterstock

Menyadur buku Matematika SMK 2: Kelompok Bisnis dan Manajemen yang diterbitkan oleh Grasindo, barisan aritmatika adalah suatu baris di mana nilai pada masing-masing sukunya diperoleh dari suku sebelumnya lewat penjumlahan atau pengurangan dengan suatu bilangan b.

Lebih lanjut, selisih antara nilai suku-suku saling berdekatan dan selalu sama, yakni b. Misalnya:

Sebagai contoh baris 1, 3, 5, 7, 9, merupakan baris aritmatika dengan nilai:

Baca juga: Rumus Persamaan Helmholtz Berhasil Dipecahkan oleh Orang Indonesia

Pengertian Deretan Aritmatika

Ilustrasi Matematika. Foto: Hyejin Kang/Shutterstock

Deret aritmatika adalah suatu penjumlahan antar suku-suku dari sebuah barisan aritmatika. Untuk penjumlahan dari suku-suku pertama hingga suku ke-n barisan aritmatika tersebut bisa dihitung sebagai:

Apabila yang diketahui hanya nilai a, suku pertama serta nilainya merupakan suku ke-n, jadi nilai deret aritmatinya adalah:

Rumus Baris dan Deret Aritmatika

Apa rumus barisan dan deret aritmatika? Foto: Unsplash

Usai membahas pengertian singkat dari barisan dan deret aritmatika, pahami uraian tentang rumusnya. Ada beberapa rumus yang dapat digunakan, tergantung nilai yang dicari.

Dikutip buku Kumpulan Rumus Lengkap Matematika SMA/MA IPA/IPS karangan Khoe Yao Tung, Rumus untuk menentukan suku ke-n dari barisan aritmetika yaitu:

atau

Keterangan:

Rumus Beda atau Selisih

Ilustrasi Matematika. Foto: kaprik/Shutterstock

Selain mencari rumus suku ke-n, ada pula rumus yang digunakan untuk mencari nilai selisih dari sebuah barisan aritmatika, yakni:

Rumus Suku Tengah

Rumus suku tengah digunakan jika jumlah suku dari suatu barisan aritmatika ganjil. Berikut rumusnya:

atau

Keterangan:

Rumus Sisipan

Sebuah barisan aritmatika yang disisipkan bilangan dengan jumlah k akan mengalami perubahan bentuk, begitu pula rumusnya. Berikut rumusnya:

atau

Keterangan:

n' = jumlah/banyaknya suku barisan aritmatika baru

n = jumlah/banyaknya suku barisan aritmatika lama

k = jumlah/banyaknya bilangan yang disisipkan ke barisan aritmatika lama

b' = beda/selisih barisan aritmatika baru

b = beda/selisih barisan aritmatika lama

Rumus-Rumus Deret Aritmatika

ilustrasi anak belajar matematika Foto: Shutterstock

Apabila dilihat secara sekilas, deret aritmatika memiliki komponen rumus yang sama dengan barisan aritmatika. Pembedanya adalah rumus barisan aritmatika digunakan untuk mencari suku yang diinginkan, sedangkan deret aritmatika mencari penjumlahan dari suku-suku tersebut.

Bentuk Umum Deret Aritmatika

Karena berhubungan dengan penjumlahan, setiap suku dalam deret aritmatika dipisahkan dengan tanda tambah/plus (+). Berikut bentuk umum deret aritmatika:

U1 + U2 + U3 + ...

Rumus suku ke-n

Suku ke-n deret aritmatika dapat dicari dengan rumus berikut:

Berdasarkan rumus tersebut, dapat ditemukan suku ke-n dengan cara berikut ini, yaitu:

Keterangan:

Un = suku ke-n

a = U1

Un-1 = suku sebelum suku ke-n

b = beda

Baca juga: Contoh Soal Sisipan Barisan Aritmatika untuk Latihan Belajar Mandiri

Contoh Soal Barisan Aritmatika

Contoh soal barisan dan deret aritmatika. Foto: Unsplash

Supaya memahami lebih jelas tentang barisan dan deret aritmatika, simak terlebih dahulu contoh soalnya di bawah ini, seperti yang dikutip dari buku Isolasi Matematika SMP Kelas 1, 2, dan 3 karangan Herlik Wibowo, S.Si.

Soal 1

Suku ke-40 dari barisan 7, 5, 3, 1, … adalah …

Diketahui:

a = 7

b = -2

Jawaban:

Un = a + (n - 1)b

U40 = 7 + (40-1)(-2)

= 7 + 39 . (-2)

= 7 + (-78)

= – 71

Jadi, suku ke-40 barisan aritmatika tersebut adalah –71.

Soal 2

Dalam suatu gedung pertunjukkan disusun kursi dengan baris paling depan terdiri dari 12 kursi, baris kedua berisi 14 kursi, baris ketiga berisi 16 kursi, dan seterusnya. Banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah …

Diketahui:

a = 12

b = 2

Jawaban:

Un = a + (n - 1)b

U20 = 12 + (20-1)2

= 12 + (9)2

= 12 + 38

= 50

Jadi, banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah 50 kursi.

Soal 3

Seorang pegawai kecil menerima gaji tahun pertama sebesar Rp3.000.000,00. Setiap tahun gaji tersebut naik Rp500.000,00. Jumlah uang yang diterima pegawai tersebut selama sepuluh tahun adalah...

Diketahui:

Gaji pertama = a = Rp3.000.000,00

Kenaikan gaji tiap tahun = b = Rp.500.000

Gaji tahun kesepuluh = U10

Jumlah gaji selama sepuluh tahun = S10

Jawaban:

Un = a + (n - 1)b

U10 = 3.000.000 + (10 - 1)500.000

= 3.000.000 + (9 × 500.000)

= 3.000.000 + 4.500.000

= 7.500.000

Jadi, gaji pegawai yang didapatkan pada tahun kesepuluh adalah sebesar Rp7.500.000,00

Contoh Soal Deretan Aritmatika

Ilustrasi Matematika. Foto: Faizal Ramli/Shutterstock

Berikut ini contoh soal deretan aritmatika selengkapnya yang bisa Anda simak:

Soal 1

Suatu bentuk deret aritmatika adalah 5, 15, 25, 35, …. Berapakah jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika tersebut?

Diketahui:

n = 10

U1 = a = 5

b = 15 – 5 = 25 – 15 = 10

Jawaban:

Sn = (2a + (n-1) b )

S10 = ( 2. 5 + (10 -1) 10)

= 5 ( 10 + 9.10)

= 5 x 100 = 500

Jadi, jumlah S10 dalam deret aritmatika tersebut, yakni 500.

Soal 2

Diketahui suatu deret aritmetika dengan suku pertamanya adalah 10 dan suku ke-enam adalah 20. Lalu, tentukan:

Jawaban:

Un = a+(n-1)b

U6= a+(6-1) b

20= 10+(5)b

b= 10/5 = 2

Jadi, beda deret aritmatika tersebut adalah 2.

10+12+14+16+18+20+…+Un

Sn =n/2 (2a+(n-1) b)

S6= 6/2 (2.10+(6-1) 2)

=3(20+10)

=90

Jadi, jumlah Suku ke-enam deret tersebut adalah 90.

Soal 3

Hitunglah jumlah nilai suku ke-4 (S4) deret aritmatika apabila terdapat angka : 4, 8,16,..?

Diketahui:

a = 4

b = 8-4 = 4

n = 4

Jawaban:

Un = a + (n-1) b

Un = 4 + (4-1)4

Un = 4 + 12

Un = 16

Lantas, berapa jumlah Sn?

Sn = 1/2 n ( a + Un )

S4 = 1/2 .4 (4 +16)

S4 = 4/2 (20)

S4 = 40

Jadi, jumlah nilai suku ke-5 pada deret aritmatika adalah 40.

Penerapan Barisan dan Deret Aritmetika dalam Kehidupan Sehari-hari

Mengejar nilai membuat anak tidak menikmati proses belajar Foto: Shutterstock

Mengutip buku Mudah dan Aktif Belajar Matematika oleh Tri Dewi Listya, dalam kehidupan sehari-hari, terdapat banyak permasalahan yang dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep matematika, termasuk baris dan deret aritmatika.

Misalnya, pada bulan Januari 2022, Amel menabung sebanyak Rp20.000. Pada bulan berikutnya, ia menabung Rp30.000, Rp40.000, Rp50.000, dan seterusnya sampai bulan Desember 2022.

Untuk menghitung jumlah seluruh tabungan Amel pada akhir bulan Desember 2022, dapat digunakan konsep deret aritatika dengan bentuk sebagai berikut:

20.000 + 30.000 + 40.000 + 50.000 + ... + U12

Suku pertama atau a = 20.000 dan bedanya atau b = 10.000. Maka:

S12 = n/2(2a + (n-1) b )

S12 =12/2(2 x 20.000 + (12 -1) 10.000)

= 6 (40.000 + 110.000)

= 6 x 150.000

= 900.000

Jadi, tabungan Amel pada akhir Desember 2022 adalah Rp900.000.

Baca Juga: Operasi Aritmatika, Contoh, dan Pengertiannya

(JA)