Memahami Determinan Matriks dan Contoh Soalnya

Ilustrasi seseorang membaca determinan matriks dan contoh soalnya, Foto: Pexels.com

Simak penjelasan mengenai determinan matriks dan contoh soalnya di bawah ini untuk memahami materi determinan matriks.

Determinan matriks adalah salah satu konsep dalam matematika yang bertujuan untuk menghitung setiap elemen dari suatu matrik persegi.

Berikut penjelasan lengkap mengenai determinan matriks dan contoh soal.

Pengetian Determinan Matriks

Determinan matriks adalah jumlah dari hasil kali elemen-elemen pada dan sejajar diagonal utama dikurangi hasil kali elemen-elemen yang terletak pada dan sejajar diagonal samping. Foto: Pexels.com

Dikutip dari buku Kompetensi Matematika 3A karya Johaned, dkk, determinan matriks adalah jumlah dari hasil kali elemen-elemen pada dan sejajar diagonal utama dikurangi hasil kali elemen-elemen yang terletak pada dan sejajar diagonal samping.

Determinan matriks adalah nilai yang dapat dihitung dari elemen-elemen suatu matriks persegi. Untuk mencari determinan matriks, matriks tersebut harus memiliki jumlah baris dan kolom yang sama.

Simbol yang digunakan untuk menyatakan determinan matriks bisa berupa det(A), det A, atau |A|.

Determinan matriks adalah selisih hasil perkalian elemen-elemen pada diagonal utama dengan hasil perkalian elemen-elemen pada diagonal sekunder.

Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menghitung determinan matriks, seperti aturan Sarrus dan metode minor kofaktor.

Determinan matriks memiliki beberapa sifat penting, yaitu |AB| = |A| |B|, |AT| = |A|, |A-1| = 1/|A|, dan |kA| = kn|A|.

Selain itu, determinan matriks juga berguna untuk mencari invers matriks.

Baca Juga: 5 Contoh Soal Implikasi Matematika dan Jawabannya

Sifat-Sifat Determinan Matriks

Untuk memahami bagaimana perhitungan determinan matriks, kita perlu mengetahui sifat-sifat determinan matriks. Berikut sifat-sifatnya:

Sifat 1

Determinan dari transpose suatu matriks sama dengan determinan matriks aslinya, yaitu |A^t| = |A|.

Sifat 2

Determinan dari hasil perkalian dua matriks sama dengan hasil perkalian determinan kedua matriks tersebut, yaitu |A.B| = |A| . |B|.

Sifat 3

Determinan dari suatu matriks yang dipangkatkan n sama dengan determinan matriks tersebut dikalikan dengan dirinya sendiri sebanyak n kali, yaitu |A^n| = |A|^n.

Sifat 4

Determinan dari invers suatu matriks sama dengan kebalikan dari determinan matriks aslinya, yaitu |A^-1| = 1/|A|.

Sifat 5

Determinan dari suatu matriks yang dikalikan dengan skalar k sama dengan determinan matriks aslinya dikalikan dengan k pangkat jumlah baris atau kolom matriks tersebut, yaitu |k.A| = k^n . |A|, di mana n adalah jumlah baris atau kolom matriks tersebut.

Sifat-sifat ini dapat digunakan untuk menyederhanakan perhitungan determinan suatu matriks.

Baca Juga: Kumpulan Contoh Soal SPLDV Metode Eliminasi dan Kunci Jawaban

Rumus Determinan Matriks

Rumus determinan matriks untuk jenis matriks berordo 2x2 dan 3x3. Foto: Pexels.com

Berikut rumus determinan matriks untuk jenis matriks berordo 2x2 dan 3x3.

Rumus Determinan Matriks 2x2

Rumus untuk menghitung determinan matriks berordo 2x2 (matriks dengan dua baris dan dua kolom) adalah dengan mengalikan elemen-elemen yang berada di diagonal utama, kemudian mengurangkan hasilnya dengan perkalian elemen-elemen yang berada di diagonal sekunder.

Misalnya, jika kita memiliki matriks A berordo 2x2 sebagai berikut:

| a b |

| c d |

Maka determinan matriks A dapat dihitung dengan rumus berikut:

det(A) = (a * d) - (b * c)

Jadi, kita mengalikan elemen-elemen pada diagonal utama (a dan d), kemudian mengurangkan hasilnya dengan perkalian elemen-elemen pada diagonal sekunder (b dan c).

Rumus Determinan Matriks 3x3

Untuk matriks berordo 3x3, terdapat dua metode yang umum digunakan untuk menghitung determinan, yaitu Metode Sarrus dan Metode Minor-Kofaktor.

1. Metode Sarrus

Metode Sarrus digunakan hanya pada matriks 3x3. Misalnya, jika kita memiliki matriks A berordo 3x3:

| a b c |

| d e f |

| g h i |

Determinan matriks A dapat dihitung dengan rumus berikut:

det(A) = (a * e * i) + (b * f * g) + (c * d * h) - (c * e * g) - (a * f * h) - (b * d * i)

Kita mengalikan elemen-elemen pada diagonal utama (a, e, dan i) dan elemen-elemen yang membentuk pola segitiga atas dan mengurangkan hasilnya dengan perkalian elemen-elemen yang membentuk pola segitiga bawah.

Metode Minor-Kofaktor adalah metode lain untuk menghitung determinan matriks 3x3. Metode ini melibatkan kofaktor dan minor dari setiap elemen matriks. Rumusnya lebih kompleks daripada Metode Sarrus.

2. Metode Minor-Kofaktor

Metode ini adalah cara alternatif untuk menghitung determinan matriks berordo 3x3. Metode ini melibatkan perhitungan kofaktor dan minor dari setiap elemen matriks

Misalkan kita memiliki matriks A berordo 3x3:

| 2 3 1 |

| 4 -1 2 |

| 5 0 -3 |

Untuk menghitungnya, kita bisa menggunakan langkah-langkah berikut ini.

Pertama, buatlah matriks kofaktor dengan cara menghitung kofaktor setiap elemen matriks awal.

Kofaktor elemen a_ij adalah (-1)^(i+j) dikali dengan determinan matriks 2x2 yang tersisa setelah menghapus baris dan kolom yang mengandung elemen a_ij.

Sehingga kita dapatkan matriks kofaktor A sebagai berikut:

| -3 -11 -3 |

| 5 -7 1 |

| -3 -1 8 |

Setelah itu, hitunglah determinan matriks awal dengan cara menjumlahkan hasil perkalian setiap elemen pada baris atau kolom pertama dengan kofaktor masing-masing elemen tersebut. Sehingga kita dapatkan:

det(A) = 2*(-3) + 3*5 + 1*(-3) = -6 + 15 - 3 = 6

Jadi, determinan matriks A adalah 6.

Baca Juga: 3 Contoh Soal Integral Tentu, Pengertian dan Pembahasannya

Contoh Soal Determinan Matriks

Ilustrasi determinan matriks dan contoh soalnya. Foto: Pexels.com

Berikut beberapa contoh soal determinan matriks.

Soal 1

Matriks A:

| 3 2 |

| 1 4 |

Hitung determinan matriks A.

Jawaban:

Determinan matriks A = (3 * 4) - (2 * 1) = 12 - 2 = 10.

Determinan matriks 2x2 dihitung dengan rumus ad-b, di mana a, b, c, dan d adalah elemen-elemen matriks A seperti yang ditunjukkan dalam rumus. Jadi, dalam contoh ini, det(A) = (3 * 4) - (2 * 1) = 10.

Soal 2

Matriks C adalah:

| -1 3 |

| 6 2 |

Berdasarkan matriks di atas, hitung determinan matriks C!

Jawaban:

Determinan matriks C = (-1 * 2) - (3 * 6) = -2 - 18 = -20.

Sekali lagi, kita menggunakan rumus ad-b untuk menghitung determinan matriks 2x2. Jadi, dalam contoh ini, det(C) = (-1 * 2) - (3 * 6) = -20.

Soal 3

Terdapat matriks X yang dinyatakan dengan:

| 0 1 |

| 1 0 |

Hitunglah determinan matriks X di atas!

Determinan matriks D = (0 * 0) - (1 * 1) = 0 - 1 = -1.

Meskipun matriks ini memiliki nilai yang sama dalam setiap baris diagonal utama, kita masih dapat menghitung determinannya dengan rumus ad-b. Jadi, dalam contoh ini, det(D) = (0 * 0) - (1 * 1) = -1.

Soal 4

Hituglah determinan dari matriks E berikut ini:

| 2 4 1 |

| 3 1 5 |

| 0 2 3 |

Jawaban

Determinan matriks E = (2 * 1 * 3) + (4 * 5 * 0) + (1 * 3 * 2) - (1 * 1 * 0) - (3 * 5 * 2) - (4 * 0 * 2) = 6 + 0 + 6 - 0 - 30 - 0 = -18.

Determinan matriks 3x3 dihitung dengan rumus yang lebih kompleks, yaitu dengan menggunakan ekspansi kofaktor.

Kita mengalikan elemen-elemen diagonal utama dan mengurangkan hasilnya dari produk elemen-elemen diagonal sekunder. Dalam contoh ini, det(E) = -18.

Soal 5

Terdapat matriks X tiga ordo yang berbentuk:

| 1 2 3 |

| 0 4 5 |

| 0 0 6 |

Berdasarkan matriks di atas, berapakah determinan matriksnya?

Jawaban

Determinan matriks F = (1 * 4 * 6) + (2 * 5 * 0) + (3 * 0 * 0) - (3 * 4 * 0) - (1 * 5 * 0) - (2 * 0 * 6) = 24 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = 24.

Dalam kasus matriks segitiga atas, kita hanya perlu mengalikan elemen-elemen diagonal utama. Dalam contoh ini, det(F) = 24.

Soal 6

Matriks A adalah:

| 4 7 |

| 2 5 |

Temukan matriks invers dari A.

Jawaban

Matriks invers dari A adalah:

| 5/6 -7/6 |

| -2/6 4/6 |

Untuk menemukan invers matriks 2x2, kita menggunakan rumus berikut:

A^-1 = (1 / det(A)) * | d -b | | -c a |

Di mana a, b, c, dan d adalah elemen-elemen matriks A, dan det(A) adalah determinan matriks A.

Dalam contoh ini, det(A) = (4 * 5) - (7 * 2) = 20 - 14 = 6, dan kita menggantinya ke dalam rumus untuk mendapatkan matriks invers A^-1.

Soal 7

Matriks C dinyatakan dalam bentuk:

| 1 2 3 |

| 0 1 4 |

| 5 6 0 |

Berapakah matriks invers dari C?

Jawaban

Jawabannya adalah:

| -24 18 5 |

| 20 -15 -4 |

| -5 4 1 |

Dalam kasus matriks 3x3, kita menggunakan rumus yang lebih kompleks untuk menemukan matriks invers. Ini melibatkan menghitung matriks adjoin dan kemudian membaginya dengan determinan matriks. Dalam contoh ini, kita mendapatkan matriks invers C^-1.

(SAI)