Rumus Fungsi Kuadrat Lengkap dengan Contoh Soal dan Jawabannya

Ilustrasi funsgi kuadrat. Foto: Unsplash.com

Fungsi kuadrat merupakan salah satu materi yang diajarkan dalam mata pelajaran matematika. Seperti fungsi matematika lainya, untuk mengerjakan fungsi kuadrat kamu membutuhkan sebuah rumus.

Nah, ulasan kali ini akan membahas pengertian fungsi kuadrat dan rumus fungsi kuadrat lengkap dengan contoh soal dan jawabannya yang bisa dipelajari.

Apa yang Dimaksud Fungsi Kuadrat dan Berikan Contohnya!

Ilustrasi fungsi kuadrat adalah suatu fungsi matematika yang dapat digunakan untuk menyelesaikan berbagai macam permasalahan. Foto: iStock.com

Fungsi kuadrat atau yang sering disebut sebagai polinominal memiliki variabel dengan pangkat tertinggi dua. Bentuk dari fungsi kuadrat menyerupai dengan bentuk persamaan kuadrat.

Sebagaimana yang dikutip dari buku Kumpulan Rumus dan Soal-Soal Matematika karya Budi Pangerti (2016: 26), secara umum rumus dari fungsi kuadrat adalah:

f(x) = ax2+bx+c atau

y = ax2+bx+c

f (x) = y yang merupakan variabel terikat, x adalah variabel bebas, sedangkan a, dan b merupakan koefisien dan c adalah suatu konstanta.

Apakah Ada Perbedaan Antara Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat?

Persamaan kuadrat merupakan persamaan polinomial berorde dua. Sedangkan fungsi kuadrat adalah suatu fungsi yang pangkat terbesar variabelnya adalah 2.

Fungsi kuadrat lebih menjelaskan pada input-output, misalnya saat menentukan nilai untuk variabel x, maka fungsi kuadrat menghasilkan output berupa nilai tertentu.

Adapun bentuk umum dari persamaan kuadrat yaitu: ax2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 0. Sementara, bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah: f(x) = ax2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 0.

Grafik Fungsi Kuadrat Berbentuk Apa?

Suatu fungsi sangatlah erat hubungannya dengan grafik fungsi, tak terkecuali dalam fungsi kuadrat yang memiliki grafik fungsi sendiri. Grafik fungsi kuadrat berbentuk layaknya parabola.

Bentuk grafik persamaan kuadrat didasarkan pada nilai koefisien dan konstanta persamaan kuadratnya. Berikut penjelasannya:

• Koefisien a akan menentukan tingkat kecekungan parabola, di mana:

1. Jika nilai a > 0, maka bentuk grafik parabola terbuka ke atas.

2. Jika nilai a < 0, maka grafik parabola terbuka ke bawah.

• Koefisien b menunjukkan letak titik puncak terhadap absis (sumbu-x) pada grafik dan sumbu simetrinya.

• Sedangkan konstanta c menentukan titik potong grafik dengan sumbu-x dan sumbu-y.

Baca Juga: Mengenal Jenis-Jenis Grafik Fungsi Kuadrat dan Cara Menggambarnya

Fungsi Kuadrat Ada Berapa?

Ilustrasi fungsi kuadrat. Foto:: iStock.com

Berikut merupakan informasi mengenai jenis-jenis dari fungsi kuadrat:

• Jika y = ax2 + bx + c, nilai b dan c adalah 0, maka fungsi kuadrat menjadi: y = ax2, sehingga nilai puncak pada titik ialah (0,0).

• Jika y = ax2 + bx + c, nilai b adalah 0, maka fungsi kuadrat berbentuk: y = ax2 + c, sehingga nilai titik puncaknya berada di (0,c).

• Jika titik puncak ada di titik (h,k), maka fungsi kuadrat menjadi: y = a(x – h)2 + k.

Bagaimana Cara Menentukan Fungsi Kuadrat?

Ilustrasi cara menentukan fungsi kuadrat. Foto: iStock.com

Berdasarkan buku Matematika Paket B Setara SMP/MTs Kelas IX terbitan Kemdikbud, fungsi kuadrat bisa ditentukan berdasarkan beberapa kondisi. Berikut cara untuk menentukan fungsi kuadrat:

1. Berdasarkan Titik Potong

Jika fungsi kuadrat memotong sumbu x, maka nilai dari y = -, sehingga bentuk persamaan fungsi kuadratnya adalah 0 = ax2 + bx + c.

Untuk menentukan fungsi kuadrat berdasarkan titik potong, berikut tata caranya:

1. Tentukan akar-akar setiap fungsi kuadrat, tetapkan fungsi dengan satu akar ataupun dua akar.

2. Buat grafik dari setiap fungsi kuadrat.

3. Tentukan fungsi kuadrat yang tidak memotong sumbu x di satu titik.

4. Tentukan fungsi yang tidak memotong sumbu x di dua titik.

5. Beri kesimpulan dari grafik yang diperoleh.

2. Berdasarkan Tiga Titik Koordinat yang Telah Diketahui

Fungsi kuadrat bisa diketahui berdasarkan tiga titik koordinat yang telah diketahui, berikut caranya:

1. Misalkan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c

2. Substitusikan setiap variabel, yakni x, y yang terdapat pada tiga titik koordinat sehingga dapat memperoleh nilai a, b, dan c

3. Substitusikan nilai a, b, dan c ke dalam persamaan f(x) = ax2 + bx + c.

3. Berdasarkan Sumbu X dan Sumbu Y serta Titik Koordinat yang Diketahui

Untuk menentukan persamaan fungsi kuadrat melalui sumbu x dan sumbu y mirip dengan cara kedua, yaitu:

1. Pada fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c, substitusikan nilai (x,y) yang ada pada tiga titik koordinat X dan Y agar dapat memperoleh nilai a, b, dan c

2. Masukkan nilai a, b, dan c ke dalam persamaan f(x) = ax2 + bx + c.

4. Berdasarkan Sumbu X dan Titik Puncak yang Diketahui

Cara menentukan persamaan fungsi dengan sumbu x dan titik koordinat yang sudah diketahui ialah sebagai berikut:

1. Misalkan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c, kemudian tentukan sumbu simetri dan titik koordinat pada sumbu X.

2. Cari hasil pencerminan dari titik puncak.

3. Substitusikan nilai ke bentuk persamaan kuadrat.

5. Berdasarkan Sumbu Y dan Titik Puncak yang Diketahui

Cara terakhir untuk menentukan persamaan fungsi kuadrat bisa dilakukan jika sumbu Y dan titik puncak sudah diketahui, berikut langkahnya:

1. Pada fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c, tentukan sumbu simetri dan titik koordinat pada sumbu Y.

2. Tentukan hasil pencerminan dari titik puncak

3. Substitusikan nilai ke bentuk persamaan kuadrat.

Ciri-Ciri Grafik Fungsi Kuadrat

Ilustrasi mengerjakan soal matematika. Foto: Pexels

Dikutip dari Buku Ajar Matematika Dasar Untuk Perguruan Tinggi oleh Sri Jumini, grafik fungsi kuadrat mempunyai beberapa ciri (2017: 44-46), yaitu:

1. Berbentuk Parabola

Grafik dari fungsi kuadrat adalah sebuah kurva yang disebut parabola simetris. Untuk membuat grafik fungsi kuadrat, maka perlu menentukan beberapa hal berikut:

• Titik potong dengan sumbu x dan sumbu y.

• Titik puncak atau titik balik parabola.

• Persamaan sumbu simetri.

Grafik fungsi kuadrat diawali dengan membuat persumbuan pada satu bidang datar dengan menetapkan sumbu horizontal adalah sumbu x dan sumbu vertikal adalah sumbu y. Grafik ini akan membuka ke samping kanan dan ke samping kiri yang berbentuk parabola.

2. Grafiknya Simetris

Grafik fungsi kuadrat mempunyai sumbu simetris. Sumbu simetri adalah sumbu yang membagi dua grafik dengan simetris. Karenanya, fungsi kuadrat memiliki bentuk parabola simetris.

3. Hanya Memiliki Titik Maksimum Saja atau Titik Minimum Saja, Namun Tidak Keduanya

Ciri-ciri grafik fungsi kuadrat selanjutnya adalah hanya memiliki titik maksimum atau titik minimum saja, tapi tidak keduanya. Berikut penjelasannya:

1. Jika a > 0, maka grafik terbuka ke atas (melengkung ke atas) dan memiliki titik balik minimum.

2. Jika a <0, maka grafik terbuka ke bawah (melengkung ke bawah) dan memiliki titik balik maksimum.

Bentuk Umum Fungsi Kuadrat

Ilustrasi belajar matematika. Foto: Pexels

Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi non-linear (garis tidak lurus) yang variabel bebasnya berpangkat dua. Adapun bentuk umum dari fungsi kuadrat, yaitu:

• f(x) = ax² + bx + c

Keterangan:

a = koefisien dari x², di mana a ≠ 0

b = koefisien dari x

c = konstanta

Baca Juga: Contoh Soal Grafik Fungsi Kuadrat Lengkap dengan Jawabannya

Contoh Soal dan Jawabannya

Ilustrasi mengerjakan fungsi kuadrat. Foto: unsplash.com/@thisisengineering

Jika hanya lewat kata-kata saja pasti sulit untuk dipahami. Berikut adalah beberapa contoh soal matematika tentang fungsi kuadrat dan jawabannya yang bisa dipahami.

Sebuah persamaan y = -x² - 5x - 4, tentukan titik potong pada sumbu x!

Pembahasan:

Misalkan y = 0

Maka

y = - x²- 5x – 4

- x²- 5x - 4 = 0

(-x - 1)(x + 4) = 0

-x - 1 = 0 dan x + 4 = 0

-x = 1 dan x = -4

x = -1

Sehingga titik potong grafik y = - x²- 5x - 4 pada sumbu x adalah (-1, 0) dan (-4, 0)

Baca Juga: Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Rumus ABC, Contoh Soal dan Pembahasannya

Contoh Kedua

Diketahui grafik fungsi kuadrat dengan titik puncak R (–1, –4) serta melalui titik (2, 5). Tentukan rumus fungsi kuadrat tersebut!

Pembahasan:

y = a(x – xr)² + yr

Titik puncak (xr, yr) = (–1, –4) dan melalui (x, y) = (2, 5)

y = a (x – xr)² + yr

5 = a (2 – (–1))² + (–4)

5 = a (2 + 1)² – 4

5 + 4 = a(3)²

9 = 9a

a = 1

Sehingga rumus fungsi kuadrat adalah sebagai berikut:

y = a(x – xr)² + yr

y = 1(x – (–1))² + (–4)

y = (x + 1)² – 4

y = x² + 2x + 1 – 4

y = x² + 2x – 3

f(x) = x² + 2x – 3

(MZM, ZHR, & SFR)

Frequently Asked Question Section

Apa yang dimaksud dengan fungsi kuadrat?

Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi non-linear (garis tidak lurus) yang variabel bebasnya berpangkat dua.

Apa bentuk umum dari fungsi kuadrat?

Adapun bentuk umum dari fungsi kuadrat, yaitu: f(x) = ax² + bx + c.

Apa bentuk grafik fungsi kuadrat?

Grafik dari fungsi kuadrat adalah sebuah kurva yang disebut parabola simetris.